Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
на угол ф относительно оси г. В принятом представлении имеем
S'x - Sx COS ф + Sy Sin ф =
s'y = - sx sin ф + cos ф = e-^Sye^f, (4.34)
s' = sz = e~ l^sz - eil<i.
Рассматривая бесконечно малый поворот и учитывая коммутационные
соотношения (4.30), найдем, что L = sz.
Можно перейти к другому представлению. Пртребуем, чтобы при переходе
от 2 к 2' вид операторов s{ оставался неизменным, а
компоненты спиновой функции изме-
нялись. Переход к этому представлению есть унитарное преобразование
V+s'l/ = s, (4.35)
= 1Л
(4.36)
Из (4.34) и (4.35) имеем
V+ = eis>.
Используя последнее равенство и формулу (4.36), получаем
= e'V
Оператор поворота Vt (ф) можно найти и в явном виде, используя явный вид
оператора sz и свойство матриц Паули (4.33):
vt( Ф) =
р'ф/2
е->Ф/ 2
11. Произвольная 'система координат 2' может быть получена из 2
последовательными поворотами на угол ф вокруг оси 2, на угол 6 вокруг
нового положения оси х и на угол ф вокруг нового положения оси г (рис.
12).
79
Параметры ф, 0, ф *) называются углами Эйлера. Поскольку вид операторов
S; в выбранном представлении
одинаков во всех системах координат, матрицу преобразования можно найти
простым последовательным перемножением матриц:
IV
у+(ф,л,Ф) = П(Ф) Vi (0) П(ср).
Явный вид матрицы Vi (0) легко найти:
Vi(0) =
Результирующая матрица имеет вид
cos (6/2) i sin (6/2) I г sin (6/2) cos (6/2) j'
V+(^, 0, ф) =
, Ф+Ф 6 ~~2
cos y ¦ e
.Ф -Ф . . 6 2 *
i sin у e
Ф-ф
l sin Y • e
- i
Ф + Ф
cos y * "
(4.37)
Таким образом, при произвольном повороте системы координат
,ф+ф
Ф1 = Ф1 cos у • е 2 + /ф2 siny-e
д в -Ф + Ф
ф2 = гфх sin y •е 2 Ч-ф^сову-е 2 .
Повороту системы координат в трехмерном пространстве соответствует
линейное преобразование в пространстве Е2 двухкомпонентных спиновых
функций. Оно не сводится к "повороту осей" в пространстве Е3, так как при
таком преобразовании должно оставаться инвариантным произведение векторов
-спиновых функций:
<ф' I Ф'> = <Ф! Ф> = Ф1Ф1 + ФаФз-
Из (4.37) следует, что это равенство не выполняется. Однако при
преобразовании (4.37) остается инвариантной
Ф-ф
*) Обозначение ф для угла не смешивать с обозначением волновой функции.
SO
величина
{ф, 1])} =%4>2-"фяф!.
(4.38)
Линейные преобразования, оставляющие инвариантной такую билинейную форму,
называются бинарными. Двухкомпонентная величина, для которой поворот
системы координат есть бинарное преобразование, называется спинором
первого ранга или просто спинором.
12. Рассмотрим спиновую ВФ системы двух частиц со спином 1/2. Общие СФ
операторов Д2 и tsz (индекс 1 = 1, 2 нумерует частицы) имеют вид
/I +):
-> =
Введенные обозначения для СФ оператора проекции sz частицы со спином 1/2
мы будем использовать в дальнейшем. Для описания системы двух частиц
удобно использовать СФ оператора полного спина S, определенного
соотношением
S^jS-pijS.
Найдем нормированные общие СФ операторов S2 и S,. Мы будем обозначать их
как | S, а). Очевидно, такие функции будут линейными комбинациями
произведений СФ
операторов ,s2 и tsz:
1 + +>: I h):
1 0 1 1 0 а' | + _> = 1 0 1 0 1 Z
0 1 1 -> = 0 0
1 1 0 а' 1 1 1 а
(4.39)
Функции (4.39) ортонормированы. В состоянии | ~р +) S.= l. Это состояние
описывается СФ оператора
S2 = jS2 -f 2jS2s + 2s2.
Докажем это:
S2 | + +) - ~2 I + +) + 2 (jS.v • "sx -f- tSy • oSy -P tSz ¦ 2SZ) I -P -
P).
Во втором слагаемом в правой части-отличный от нуля вклад дает лишь
оператор is. • 2s~, что легко проверить непосредственным вычислением.
Итак,
S21 + +> =.21 + +> = 1 (1 + 1)! + +).
81
Состояние | ++) есть состояние с полным спином S = 1 и проекцией <7=1.
(Выше она обозначалась как 11,1).) Введем оператор
= ]S_-(- 2S-.
Поскольку [S_, S2] = 0, состояния (S- )k |1, 1) также будут описываться
СФ оператора S2:
S-| 1, 1> = $_| + +> = уг2| + -> + Т/2|-+>;
в этом состоянии Sz = 0; из условия нормировки
Н. о>=1±=Ш=±>.
Далее,
S_|l, 0) = | > +--|-> = "|1, -1).
Нормируя, получаем
|1, -1> = |-, -)•
Существует еще одна линейно независимая от |1, 1),
| 1, 0) и 11, -1) комбинация функций (4.39). Ее можно найти из условий
ортонормированности:
ф'=1±^~±'' (4-40) Легко убедиться в выполнении равенств
5*Ф4 = 0, 5аф4 = 0.
Следовательно, функция ф4 = | 0, 0) описывает состояние системы с полным
спином, равным нулю. Состояние системы двух частиц со спином 1/2 и с
полным спином S = 0 называется синглетным, а трехкратно вырожденное по
значению проекции Sz состояние с 5 = 1 называется триплетным. Из (4.38)
следует, что ВФ состояния с S = 0 остается инвариантной при поворотах
осей, т. е. является скаляром.
13. Полный момент частицы j складывается из ее орбитального и спинового
моментов:
j=l + s.
Поскольку операторы Ins действуют в разных пространствах, они
коммутируют. Поэтому выполняются
82
соотношения
I/'"" /;] ~ Lt'jj/.ji., [/(, f"] = 0, [/,, s"] = 0. (4.41)
Из (4.41) следует, что существуют общие СФ операторов /2, /" I2. Найдем
спектр проекций полного момента для частицы со спином s = 1/2. Рассмотрим
