Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
нулю. При п = -\- 2
_ 1 [<" | V | п)_р
итт - 2
л(2) .
О-ml -
(еп ^т)2 9
п
^ 2 с& </1 VI s) +
Подставляя в последнее выражение формулы (6.10) и (6.14), находим
Q-ml:
-1
С1 ет
ek
(ei~ em)2
. (6.19)
Отсюда получаем окончательное выражение для ВФ второго порядка:
ф:
, уу<т\У\1Н1\У\к)Ч"
(Cft ет) i.el ет)
k I
' (m\V\m)(s\V]m)
(es~em)^
V'' {m\V \ m) (s | У | m) 1. V I <m ! V | s> i2 fn om
" L (es-em)* " 4>* 2 L фт' (b-ZV)
S
4. Индексы у C" и |л в предыдущем изложении представляют собой, в
общем случае, не просто номера энергетических уровней, а совокупность
всех квантовых чисел, определяющих положение системы. Если уровни
дискретного спектра вырождены, т. е. если при тфп
€т =
то полученные выше результаты неприменимы непосредственно, так как в
суммах (6.15), (6.16) могут появиться бесконечные слагаемые. Напомним,
что дискретный спектр одномерного движения всегда не вырожден, а
дискретный спектр частицы в центральном поле в состоянии с момен-
112
том / всегда вырожден с кратностью (2/+1) по величине проекции момента.
Пусть уровень Ет вырожден с кратностью g. Пусть Фт/- произвольные
ортонормированные ВФ этого уровня (l=^/"Sg)- Используя формулы (6.7),
(6.8), при любом/ имеем
Я0Фш? = етФт?, (6.21)
(Я0 - ет) фй = - Щтс + ЕЖ. (6.22)
Умножая (6.22) на фmk скалярно, получим, учитывая вытекающее из
эрмитовости гамильтониана Я0 равенство
(фmk, (Но - ет) фmi) = ((Но - ет) фтЬ Ц>','п\) = О,
следующее соотношение:
(mk | V | mi) - Е','п\ (mk \ mi) = Е'т\Ьы- (6.23)
Таким образом, функция в правой части (6.22) должна
быть ортогональна ко всем ф^, что выполняется не при всяком выборе ВФ
нулевого приближения. Рассмотрим линейную комбинацию ВФ вырожденного
уровня
= 2 biff mi'
/= 1
Такая комбинация тоже будет СФ невозмущенного гамильтониана,
соответствующей значению Ет. Набор (lsg будет ортонормированным, если
матрица Ьц
унитарна.
Подставляя в правую часть (6.22) функции и требуя ортогональности ко всем
ф|}& придем к системе линейных уравнений для коэффициентов Ьи:
Z(k\V\i) bu~Erbik = 0. (6.24)
i
Система линейных уравнений (6.24) имеет нетривиальные решения, только
если детерминант из коэффициентов при Ьц обращается в нуль:
Det (V,*-?<%*)=(). (6.25)
Это уравнение, называемое секулярным, имеет в общем случае g различных
действительных корней, которые и представляют искомые поправки первого
приближения к энергии уровня Ет. Отсутствие комплексных корней
113
является следствием эрмитовости оператора возмущения ?V ¦ Нумеруя корни
секулярного уравнения как ЕJ1' и подставляя их в (6.24), найдем
коэффициенты btk, определяющие правильные ВФ нулевого приближения. Если
все E'i' различны (возмущение полностью снимает вырождение), то
вычисление высших поправок ведется, как в п. 6.1.
5. Если невозмущенный уровень принадлежит к группе близких уровней
(квазивырожденный случай), то вычисления по теории возмущений удобно
вести так же, как и при наличии вырождения. Этим подходом можно исключить
появление больших поправок к СФ и СЗ. Пусть близко расположены уровни с 1
==g п "s g. Представим оператор возмущения в виде
v=n+h,
где операторы flt /2 определены соотношениями
<*' I /11 /') = (?i - Ej) &ij (*, j^g),
(m\h\n) - 0 (m, n>g),
(i \f1\n) = 0 (n>g, i^g),
<' I h I /) = <* IV i /) " (Ei Ej) 6,7 (i, j^g),
(m | U 1 /г) = <m | V | n) (m, n> g),
(i\h\n> = (i\V\n) (n>g, i^g).
Собственными функциями оператора H' = #0 + /i являются те же фт, что и у
оператора Н0. Но теперь группе первых g уровней соответствует одно
значение Ех. Используя результаты п. 6.4, представим ВФ нулевого
приближения в виде
ЧГ = 2 Ь,т. (6.26)
/ = I
Тогда имеет место система уравнений
2 Ьи [(k\V\ /> - (Ег - Ej) 6,7] = Е(tm)Ь1к. (6.27) /=1
Поправки ?(1) и коэффициенты bik вычислим, приравняв нулю определитель
системы (6.27).
114
Рассмотрим случай двух близких уровней (g - 2). Се-кулярное уравнение для
Е(г):
Det I Vll~Ea> VV> - о
I Pfs Р22 + Д -
где Д = Е2 - Ех есть расстояние между невозмущенными уровнями, приводит к
значениям поправок
{ 1/(A + V22-Vu)2 + 4|V12 |2. (6.28)
pin А + Р11 + Р22 .
Е 1,2- 2 ¦
Рассмотрим вид этого выражения в различных предельных случаях. Если | Д-
{-Р2г - Vu | | V121, то
|Pl2 I2
ET^V.
11 ¦
;р22+д
Д+Ргг-Рц' I Pl2 I2
(6.29)
Д+ Ро2 - Pll
В частном случае Рц = Р22 -0 из (6.29) следуют выражения
I Ри I2 Е- , I Рм I2 .
А
А
Таким образом, учет квазивырождения приводит в первом порядке теории
возмущений к формулам, которые включают также и главный член второго
порядка теории возмущений без вырождения. Поправки к энергии зависят от
величины возмущения квадратично. В другом предельном случае
| Д-f- Р22 - Vu | Vi21 получаем
17(1) _ Д+Р22+Р11
Т-1, Я ^ о---------
12
+
(Д + Ра -Рц)"1 5
81 Р,
'J'
Рис. 17.
Если Уц- V22 = 0, то зависимость поправок от величины возмущения
близка к линейной. Положение возмущенных уровней в зависимости от
величины возмущения показано на рис. 17. Заметим, что под действием
возмущения расстояние между близкими уровнями увеличивается. Это явление
