Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, энергетический спектр трехмерного осциллятора
Еп = (п + 3/2) Йсо. (5.30)
Уровни энергии вырождены: кратность вырождения уровня равна числу
способов разбиения целого числа п на сумму трех целых неотрицательных
чисел:
ё{п) = \{п+\)(п + 2).
ВФ стационарных состояний в декартовых координатах имеют вид
IПЪ пг, na) = Ae-WHnl(Vb)Hnt(VJ.y)H"AVte),
где
Я = ttm/h,
Я* -полином Эрмита. Так как четность k-то полинома Эрмита есть (-I)'1',
то четность волновой функции
Р\пи "2" Пз> = (-1)/!, + "3 + "3 = (-1)".
Состояние с определенными пъ tu, па не имеет, вообще говоря, определенных
значений I и т. Состояние с определенными I и т найдем, рассматривая
движение частицы в сферических координатах. Уравнение для радиальной
части ВФ имеет вид
d'2R . 2 dR , [ 2тЕ т2ы2г2 I (/+1)' dr2 r dr
Положим k = --|m-. Подстановкой % = rR уравнение (5.31)
сводится к виду
х"+[^2 - Я] X=0 -
Учитывая асимптотики ВФ при г->- 0, г -> оо, представим его решение в
виде
^ __ ri +1 ег~ ^ */2ц) (/-).
Уравнение для w (г) есть
v" + 2 (-Щ- - Яг) w' - [2Я (/ + | )= 0.
w
4* 99
Вводя новую независимую переменную
р = Кг2, перепишем (5.31) в форме
Решение такого уравнения, растущее при р->оо не быстрее конечной степени
р, отыскивалось в п. 5.6. Условие существования такого решения
определяет энергетический спектр
ЕПг 1 = Кш>(1-\ 2пг+3/2).
Сравнивая с (5.30), видим, что
п - I + 2 пг.
Уровень энергии с заданным п может иметь разные значения I, т. е., как и
в кулоновском поле, имеется случайное вырождение уровней по значениям
момента. В отличие от кулоновского поля состояние с заданным п имеет
определенную четность Р(п) = (-1)".
11. Рассмотрим состояние дискретного спектра частицы в поле сферической
ямы - разрывного потенциала
Сферическая яма представляет интерес как пример короткодействующих
потенциалов, убывающих при г -> со быстрее любой отрицательной степени г.
Полагая
мы получим внутри ямы уравнение, совпадающее с УШ для свободного движения
с энергией Е' - -\E\-\-U:
U(r) = - U (г<а),
U(r) = 0 (г>а).
2m(U-\E\)
JLA
г2 dr
iSL±}lRi+k2Ri==0t (5-з2)
и вне ямы:
100
Рассмотрим вначале решения, соответствующие нулевому моменту; уравнения
(5.32) и (5.33) принимают вид
(г%') + k2rR' = 0. (5.34)
Конечное при г -0 решение этого уравнения:
= ' (5.35)
Уравнение (5.33) при / = 0 принимает вид
^(#)-xW = 0. (5.36)
Его решение, убывающее при г-> оэ, имеет вид
А и В - нормировочные постоянные. Условие непрерывности логарифмической
производной от гЯ при г -а дает
k ctg ka - - у. = - ]/" •
Представим это уравнение в виде
-Ctg2 = |^(|2)2-1, (5.37)
где z - ka, и рассмотрим его решение графически. На
рис. 14 правая часть (5.37) изображена при двух различных значениях |'8.
Очевидно, уравнение не имеет решений при
Таким образом, минимальная глубина {/mitl сферической ямы, при которой
появляется связанное состояние, связана с ее шириной соотношением
л2й2
U min -
8 та2'
С ростом |"2 график функции в правой части (5.37) проходит
все выше при малых г, и первые корни уравнения
приближаются к значениям
zn~>nn,
U _ I F I ^ й2дг2 п2
U 1 С >п 2та2 П '
Число связанных состояний с моментом / = О
(Ёл)-1 - 1 < ./V (0) < (git)"1 + 1
растет пропорционально корню из значения глубины ямы. Рассмотрим решение
УШ при 1^ 0; уравнение для радиальной ВФ (свободного движения)
Wr{^4r)-1MPlR'+k^'=(1
подстановкой.
Ri = r-'/*Z(r) (5.38)
и введением переменной x - kr сводится к уравнению
*s-S-+*-§+(*!-'<'+d-!)z=o
- уравнению для функций Бесселя с полуцелым индексом; итак,
Ri'=Ar~i/2Ji+1/2 (kr),
где А - нормировочная постоянная. Функции Бесселя Ji+ г/2 могут быть в
явном виде выражены через элементарные функции. Общее выражение для
нормированных радиальных ВФ:
*<М-У!(х)'(7 №
Аналогично, вне ямы уравнение (5.33) подстановкой (5.38) превращается в
уравнение для функций Бесселя мнимого аргумента (физические решения
должны убывать при
102
/•-> оо). Определение спектра из условия непрерывности при г -а в этом
случае чрезвычайно сложно; ограничимся рассмотрением предельного случая
очень глубокой ямы (|2 С !)¦ В этом случае ВФ для низколежащих уровней
вне ямы мала и приближенно можно положить
Я]) (й) яа 0.
Тогда положение уровней над дном ямы определяется уравнением
Ji+i/2 (ka) = 0.
Порядок расположения уровней (от основного состояния):
Is, 1 р, 1 d, 2s, 1/,
2р, lg, 2d, 1 h, 3s. Рис- 15-
Схема расположения уровней (зависимость En-\-U0 от I) приведена на рис.
15. Вырождение отсутствует: значение энергии однозначно определяет
величину орбитального момента.
12. Функцией Грина для дифференциального уравнения
Ьх ф (X) = [-jj + / (X)] ф (х) = 0
называется симметричная функция двух аргументов G(x, х'), удовлетворяющая
уравнению
DxG(x, х')=*6(х-х'). (.5.40)
В дальнейшем будем вместо слов "функция Грина" использовать
сокращение ФГ. Найдем ФГ для радиального
уравнения Шредингера
JS- + [k2-v(r)\% = 0, (5.41)
dr2
где введено обозначение
Так как при г Ф г'
DrG (г, r'j = br'G (г', г) -0, то ФГ следует искать в виде произведения
