Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
называется отталкиванием уровней.
6. При вычислении поправок для СЗ Ет можно обойти процедуру разложения ВФ
по степеням малого параметра б
115
и ее последующей нормировки. В самом деле, система СФ невозмущенного
гамильтониана #0 -полная иортонорми-рованыая. Можно вычислить матричные
элементы Н в этом базисе (недиагональные элементы будут отличны от нуля
только для V) и диагонализовать полученную матрицу. В принципе такой
подход должен привести к точным значениям уровней гамильтониана Й (см. п.
1.15).
Рассмотрим метод приближенной диагонализации, который называется теорией
возмущений Бриллюэна -Вигнера. Разложим решение УШ
{H0+V)tym = EmTpm (6.30)
по СФ невозмущенного гамильтониана:
tym - стпфи-п
Подстановка этого разложения в (6.30) дает
стп (Еп - Е?') = ^ cknVmk. (6.31)
к
Полагая n = m, получим
Ет - Е'% - Утт + Г- У cbmVmb. (6.32)
t mm etmd к
Повторными подстановками (6.32) в правую часть (6.31) получаем, выделяя
каждый раз в сумме слагаемое с k = т,
+ (6.33)
s = 0
где
р<1>_ V
1-т - У mntf
p{s) _ у' у' у'______________Vтк^blk2 Vksm_________
m _Г Г "и (Em-E'k^(Em-E'Q...(Em-Ers) '
К1 Н2 HS
AW = J_y' V' Vmkl ••• V^nmcmkn________________
CmmX"kn {Ет-Е'К){Ет-ЕкЙ...{Ет-ЕГ'У
Очевидно, k-й член разложения имеет порядок е*. Разложение (6.33) точное
и становится приближенным, если опустить член А(,г). Фактически
разложение (6.33) определяет Ет неявно, так как Ет входит в знаменатели
всех членов с s^2. Однако это разложение свободно от труд-
116
ностей, связанных с наличием вырождения. В самом деле, процедура
отыскания правильных ВФ нулевого приближения, рассмотренная в п. 6.4,
состоит в днагонализации субматрицы Нтп на подпространстве ВФ
вырожденного уровня. Если в разложении (6.33) подставлять в формулы для
Ет вместо точных (искомых) значений Ет приближенные значения Ет~'\ то
разложение (6.33) перейдет в разложение собственного значения Ет,
следующее из теории возмущений Рэлея - Шредингера.
7. Выше мы предполагали, что оператор возмущения V в некотором смысле
мал. Практически для вычислений используются несколько первых поправок к
СЗ. Поэтому естественно под малостью оператора V понимать малость первых
поправок по сравнению с величиной невозмущенного СЗ. Малость первой
поправки
|?"'|<k"l (6.34)
не есть достаточное условие применимости теории возмущений. При наличии
близких уровней во втором порядке могут появиться члены, большие по
сравнению с е", даже если (6.34) выполняется. Кроме того, в ряде случаев
Е'п' = 0.
Например, это имеет место для системы с гамильтонианом
А #}2 '
//o = 2m+i7 W
и возмущением eV (х), если U (х) - четная, а V (х) - нечетная функции х.
Малость второй поправки также не есть достаточное условие применимости
теории возмущений.
Поясним это на примере ангармонического осциллятора - системы с
гамильтонианом
?, р2 х2 . о
Я= 2 +Т + ЕХ (мы положили h, т, ю=1). Пусть е мало; рассматривая V = ех3
как возмущение и используя вычисленные в задаче 3.9 матричные элементы
(п - 31 eV | п) = е j/~= (п | eV I п - 3), <"-l|V|n) = e'(/r^ = <n|t/|n-
l>,
117
находим
^"sO,
?*=s_e"^(n" + n + "). (6.35)
Эта поправка мала при фиксированном п, если
I еа | <^4/15":
Однако сходимость ряда теории возмущений в этом случае сомнительна. При х
sign е > (31 е |)~г потенциал U (х) + -{-еУ (х) убывает, стремясь к -сю.
Формально движение при любой энергии Е инфинитно. Однако потенциал
убывает так быстро, что квадратично интегрируемое реше-
ние существует при любой энергии Е. Дискретный спектр в этом случае можно
отобрать, используя требование ортогональности волновых функций в области
(-оо, X). Спектр будет зависеть от граничного условия в точке X,
которое, очевидно,
не учитывается в вычислениях по
теории возмущений.
Рассмотрим осциллятор с возмущением V = ех4. При е > О наличие х
дискретного спектра очевидно. Однако и в этом случае ряд теории
возмущений будет, по-видимому, расходящимся. Если ряд сходится в точке e
= -f-e0, то Е (е) есть аналитическая функция комплексного переменного е в
области |е|<ео- Следовательно, тогда ряд должен сходиться при
отрицательных значениях- ео<е<;0. Но при е<0 ситуация аналогична
рассмотренной выше.
Задача об ангармоническом осцилляторе возникает при замене глубокой
потенциальной ямы U (х), в которой связанные состояния заведомо
существуют, степенным разложением U (х) в окрестности точки х0, где U (х)
имеет минимум (рис. 18). В этом случае сходимость рядов обеспечивается
учетом высших степеней х и выражение
(6.35) действительно определяет поправку к энергии дискретного
уровня.
8. Собственные значения гамильтониана Н могут быть найдены из
вариационного принципа. Покажем, что СФ
О х0
118
гамильтониана реализует экстремум средней энергии ? = (яр|Я|яр>.
Найдем услойие экстремальности Е:
б яр*Яяр dq - 0 (6.36)
при дополнительном условии
5 яр*яр dq= 1 •
Комплексно-сопряженные яр и яр* нельзя варьировать независимо. Разделим
эти функции на амплитудную и фазовую части:
