Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
(норма любой функции неотрицательна), то
При фиксированном у значения р ограничены сверху и снизу. Пусть Л и %
есть соответственно наибольшее
70
и наименьшее значения р при заданном у:
УА : 01 У-ф-у 7_ - 0.
Используя операторные равенства
Jj+(4.12) У+У_==У2-У1 + Уг, (4.13)
действуя (4.12) на %А и (4.13) на получаем у - Л2 - Л = 0, у - X2 + Я =
О,
(Л-Я+1)(А + Я) = 0.
Так как по условию Л^Я, то
Л = -Я = У.
Отсюда получаем
у = У(У+1).
При заданном у проекция момента р принимает 2У+1 отличающихся на единицу
значений: от У до -У.
Поэтому разность
Л - Я - 2/
должна быть целым числом.
Таким образом, собственные значения проекции момента Jz (мы будем
обозначать их буквой М) суть целые,
M = k (k - 0, ±1, ±2, ...),
или полуцелые,
M = k+ 1/2 (А = 0, ±1, ±2, ...),
числа. Заметим, что состояние с заданным у = У(У+1) вырождено с
кратностью 2У + 1 по значениям проекции момента М. Это есть частный
случай установленного в п. 1.18 правила: операторы У,- и У* коммутируют с
У2, но не коммутируют между собой. Под "состоянием с моментом У" мы будем
понимать состояние с у = У (У + 1), в котором максимальное значение
проекции момента есть У. Такие состояния будем обозначать фу м или \JM).
5. Найдем матричные элементы операторов Ул-, J у в представлении, в
котором У2 и У- диагональны. Из
71
(4.11) и (4.12) имеем
J .111 " aM'f фу, .и = u'mA'j, Л1- 1 >
' J ( J + 1) - (M - l)2 - (M - 1) = u°M,
aM = V(J + M)(J-M + l). (4.14)
Подставляя (4.14) в (4.11), получаем
J+фу, Л1-1 ~ \' (J + M) (J - M -f- 1) ф/, ,vt. Следовательно, матричный
элемент оператора J+ есть
(JN\J+\J, М - 1) = V(J + М) (j - м + 1) 6jV, м. Аналогично
(JNI У_ | J, М) = Y{J + М) (J - М + 1) бЛ% Используя определения
операторов ¦/¦_, Jнаходим
(J, M\JX\J, M-l) = YV(J + M)(J-M + l),
(Jr М ! j J, М - 1)_= - V(J + M)(J-М + 1).
6. Из коммутационных соотношений (4.8) следует, в частности,
[ h, Рл| = i^ikiPi-
Таким образом, существуют общие СФ операторов lz - проекции момента на
ось z и р. -проекции импульса на ось 2. Гамильтониан свободного движения
Н о =
Р V2
И' 2т!
может быть представлен как квадрат векторного оператора. Поэтому
существуют общие СФ операторов Н0, \% и 1г. Свободная частица может
находиться в состоянии с определенными значениями Е, I, т. Через т мы
здесь и всюду в дальнейшем будем обозначать проекцию орбитального момента
на' ось г.
Рассмотрим оператор орбитального момента одной частицы в сферических
координатах г, 0, q>:
z - т cos 6, у = г sin 0 sin <р, х = г sin 0 cos tp. (4.15)
-72
Пусть Ф (г, б, ф) - ВФ частицы в системе 2; Ф' (г, 0, ф) - ВФ частицы в
системе 2'. При повороте системы координат на бесконечно малый угол
вокруг оси г
Ф'(г, 0, ф) = Ф(г, В, ф + 6а) = Ф +6а^~,
Ф'.(г, б, ф) = (1 + ilz8a) Ф (г, 0, ф).
Из сравнения правых частей этих равенств следует:
Щ=йжф, l=-i± (4.16)
При повороте системы координат на бесконечно малый угол вокруг оси х
Ф' (г' 01 Ф) = Ф + . (4.17)
Ф' (г, В, ф) = (1 + flx8a) Ф (г, В, ф). (4.18)
Так как при таком повороте
г'==2 + г/ба, у' = у - г 8а, х'=х,
то из формул (4.15) получаем
г cos (0 + t/O) - г cos 0 + /• sin 6 sin фба, (4.19)
r sin ф sin (0 -j- dB) = r sin 0 sin ф - r cos б 6а. (4.20)
Первое из этих соотношений дает
- sin б йВ = sin б sin ср 6а,
-? = -"пф. (4-21)
Из соотношения (4.20) получаем
cos 6'sin ф dB -j- sin 0 cos ф d(p = - cos 0 6a,
• r,dw n r, • d6
COS Ф Sin 6 = - cos 6 - COS 6 Sin Ф
¦ Подставляя сюда (4.21), имеем
^ = - ctg 6 cos ф. (4.22)
Подставляя (4.21) и (4.22) в (4.17) и сравнивая правые
части (4.17) н (4.18), находим
гг. 9 ¦ 1 ' - ^ \
Рассматривая поворот вокруг оси у, получаем \ = i (- cos ф щ + ctg 6 sin
ф -).
Отсюда находим и явный вид операторов l±, Р: \± = ехр [± up (± | + i ctg
б ^)],
[si;
Р=И++Ц + 1г
_i______
sin2 б дер2
1 д Г . ад sin е <5в( ае
]. (4.23)
Последний оператор с точностью до множителя есть угловая часть оператора
Лапласа.
7. Рассмотрим СФ оператора проекции орбитального момента. Из (4.16)
получаем
L Ф = тФ = - i
.дФ
дц> '
откуда
Ф =• -7= e'm<p,
~\[ 2л
(4.24)
где значения т, в силу коммутационных соотношений, могут быть как целыми,
так и полуцелыми. Потребуем эрмитовости оператора 1г:
2я
2я
Таким образом, оператор 1г будет эрмитов на классе функций,
удовлетворяющих условию
f*g(2n)=f*g(0). (4.25)
СФ iz принадлежат классу L2 (0,2л) и удовлетворяют условию эрмитовости
(4.25). Этому условию удовлетворяют также любые дифференцируемые ВФ,
разложимые по Фт (ф):
Г(ф) = ^>Л k=s0t ±i, ±2,
G (ф) = 2 k '¦
k
только с целыми или только с полуцелыми значениями т, но не комбинации
функций F и G. Выбор возможных значений т делается на основе сравнения с
.экспериментом.
74
Величина проекции орбитального момента может принимать только
целочисленное значение (в единицах Н).
Рассмотрим общие СФ операторов lz и /\ Из (4.14) следует:
1Ьт = V(l + rri) (l-m+l) т1,
I tyu =1/A21 фс ci-По индукции легко показать, что
О )%i = У (2i-lk)\ Фл Ik-Полагая l - k - m, получаем
