Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
состояние с максимальной проекцией полного момента
1=11.1, +>. (4-42)
/РФ = {I -р 1/2) ф> / = /-Р 1/2.
Введем оператор
АЛЛА
7- = С -р s_ = L -Р
Учитывая (4.14), получаем 1
0 о
1 0
(4.43)
/-Фи
¦ V 2/1 /, /-1, -р) -р | /, /, -).
Значения проекции полного момента в этом состоянии
jz - {l - 1) + 1/2 = / - 1/2.
Итак, оператор j. уменьшает на единицу значения проекции полного момента.
В общем случае
ji = n+kii-'L.
Эта формула получается из разложения бинома, если учесть (см. (4.43)),
что si и все высшие степени s_ тождественно равны нулю:
к 11, I, +) = к\1, U +)+№-'\1, /, ->.
Подставляя выражение для (L)*, найденное в п. 4.7, находим
к 11,1, +>=]Pjr=§,u. +>+
+ '-'-и.->•
Вводя т - 1 - k, получаем окончательно
I, +>-рЛ(2^дГ)'д. т. +>+
, 1 /"(201 (/-т-1)!,, "Л1, . , ......
Собственные значения проекции полного момента есть последовательность
чисел, отличающихся на единицу, от / = / + 1/2 до / = /-1/2. Все
построенные таким образом состояния принадлежат тому же СЗ /2, что и | /,
/, -j-), поскольку [/ , /2] = 0:
/+/, /, +> = (/* +2/s + ?)|/, /, +> =
= [/(/ +1) + 2/ • 2 + 4- j! /, /, + ), (4.45)
/ (/+!) = (/+1/2) (/ + 3/2).
В правой части (4.45) отличный от нуля вклад дает только член 2/-S-.
Таким образом, полученные ВФ соответствуют значениям / = /+1/2, т,- = т +
1 /2. Нормированные ВФ имеют вид
Ф | / +2> т 2 /^ =
= j/~ 1~2?+Г т' + m + -)• (4-46)
Полное число линейно, независимых состояний /V = (2/ + +1) (2s + 1) = 4/
+ 2. Построенная система ВФ включает (2/+1) = 2/ + 3 состояний. ВФ
остальных 2/ - 1 состояний можно получить из условия ортонормированности
/ 2 , m + ?/¦ =
= >++<. +>-1/г++1'. га + С ->•
14, Если две подсистемы взаимодействуют таким образом, что момент j,-
каждой из них сохраняется, то СФ оператора полного момента
J == j! + 12
можно найти, как и в предыдущем пункте. Для фиксированных значений ]\ и
/2 имеется (2/\+ 1) (2/а+ 1) орто-нормированных СФ проекции полного
момента JФункцию, соответствующую максимальному значению проекции полного
момента,
Mj~ /1 + /2
можно построить единственным образом. Следовательно, J = j 1 + /а есть
максимальное значение полного момента
84
системы. Применяя к функции
|/i + /*" Л + /а" /ь /2) = I /1" Zi) ' I /2. /2) повторно оператор
А Л А
получаем все 2(/3 + /3) + 1 ортогональных функций, принадлежащих СЗ J -
ji + h с различными М:
~ (/t + /г) =+ М ji + /2.
Так, функция, соответствующая значению Л1 = /3 + /3 - 1, есть
j/i + /-2. /1Н- /а - 1> /1. /¦>) -
/1_1, /г' ^+V й+та1 /ь /а' /2~1>-
Из условия ортонормпрованности легко получить функцию, соответствующую J
- /3 + /2 - 1, М = /1 \- /3 - 1:
I/1 + /2-'К /1 /а - 1 > /и /2) -
= 77+71!Л' /l-1' /а* /2>_1Л\++|/ь /ь Л" /i-1>'
Применяя к полученной функции несколько раз оператор J , получим 2(/3 +
/3 - 1)- 1 функций, принадлежащих J =/3 + /3 - 1. Повторяя эту процедуру,
можно построить все интересующие нас функции.
Легко проверить, что J может принимать значение
I /1- is I ^ ^/1+ /а*
В самом деле,
max J
1] (2У + 1) = (2/3+1) (2/3+1).
min J
Таким образом,
I +, М, /3, /'.,)= 2 (/V"uVno | JA1) 1/3, /яь /.,, т2>.
mi -f ш2 = Af
Коэффициенты (jitnij2ni2JM), определяющие вклад различных функций
!/3'"i/V"2> в СФ операторов J2, J, с СЗ J (У + 1), М, называются
коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша - Гордина.
85
ЗАДАЧИ
1. Найти СЗ оператора J2 в состоянии с шахМ=У, учитывая соотношение
Sp/* = Sp/* = Sp/§.
2. Пусть Я-векторный оператор, удовлетворяющий соотношению
1Л. Л*]=
Доказать тождества
О, А]=i ([Ах J ] - [J х а]) "
[Ja. [J2, Я]] = 2 ( J2A + A J2) - 4J (J А) •
3. Доказать, что матричные элементы вектора А между функциями с одним и
тем же значением J пропорциональны соответствующим матричным элементам
оператора J:
{n'JM' | А | nJM) = K (nn'J) {JM' | J1 JM).
4. Доказать равенство
(n'JM' | AJ | nJM) = K(nn'J) J (7 + 1) bMM..
5. Найти коммутационные соотношения [/г, A;*]i где Ац, - компоненты
антисимметричного тензора.
6. Найти коммутационные соотношения [/г, ?;*]> где ^-компоненты
симметричного тензора.
7. Найти спектр оператора ЗДз-
8. Найти 'ВФ свободного движения -общие СФ операторов Я, Рг > О *
9. Найти явный вид матриц Ji и унитарных операторов Of (ф) для J = 1.
10. Доказать, что для оператора скалярной величины L отличны от нуля
только матричные элементы между функциями одинаковой четности.
11. Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином 1/2 в ^-
представлении есть
i]) = e"'a cos р [ +) +e-,'v sin р | -).
Найти сферические координаты ф, 6 такого направления в пространстве,
проекция спина на которое с достоверностью есть -ф 1/2. Такое направление
называют направлением поляризации частицы со спином 1/2.
12. Для операторов slt s2 спина двух частиц со спином 1/2 найти спектр и
матричные элементы оператора SjSg.
86
13. Доказать, что функция |/1( /Д /2, /2) есть СФ операторов J2 и /->
соответствующая значению 7=/i + /a.
14. Найти нормированные общие СФ операторов J2, /. системы двух частиц:
