Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
значением, равным нулю. Отсюда получаем уравнение
{х + yh ^ ф = Яф, . Я = х + t'yp. (3.55)
Нормированное решение уравнения (3.55) имеет вид
$(*) = -v====exp
У 2л АХ*
Ах-
V = -7T'
(х~х)3 | jpx 4Дх* Л
(3.56)
63
Оператор в левой части (3.55) лишь размерным множителем отличается от
оператора уничтожения а для гармонического осциллятора, введенного в п.
3.6. Таким образом, состояния с ВФ (3.56) могут быть определены
уравнением
= Ядр,
где Я -произвольный комплексный множитель. Состояния,' описываемые ВФ,
удовлетворяющими этому уравнению, называются когерентными состояниями*
гармонического осциллятора.
ЗАДАЧИ
1. Найти общие СФ гамильтониана свободного движения Н0 и оператора
инверсии R.
2. При отражении от прямоугольной стенки ВФ при х < 0 можно представить в
виде
gi kx _|_ g-i (kx+6) #
'Найти зависимость б от Е.
3. Доказать, что коэффициент прохождения D (Е) не зависит от направления
падения.
4. Найти D (Е) в поле U (х) =t/б (х).
5. Найти D (Е) в поле
, U (*) = - С0 ch2 р [th (х/а + Р) - th рр, где По>0, р>0.
6. Найти D (?) в поле
?/(х) = - (Л, (х/я)2-Результат этой задачи дает хорошее приближение для D
(/:) при значениях энергии Е, близких к максимальному значению
потенциальной энергии U (х), в произвольных гладких
Потенциалах
(ср. (3.13)).
7. Доказать, что в поле с четным потенциалом U (х) ВФ дискретного спектра
либо четны, либо нечетны.
8. Найти условие, при котором энергии связанных состояний в поле с
потенциалом yU (х) будут возрастающими функциями у.
9. Вычислить отличные от нуля матричные элементы операторов Q\ Q4 между
ВФ стационарных состояний гармонического осциллятора. Воспользоваться
соотношением
Q=y~ $*+*)¦
Задачи 3.10-3.12 могут быть решены как методом факторизации, так и
приведением УШ к гипергеометрическому виду.
10. Найти дискретный спектр частицы в потенциале Морза
U (х) =П0 (е2л^" - 2е*/а).
64
11. Найти спектр частицы в поле
(/(X) = IWn * (l х I < -J ) .
12. Найти спектр частипы в поле
СМ=c.(i--'-)'
13. Доказать, что в поле с потенциалом
,-,4 ,, а=(Зх3-а2)
при U,-та2 > Ь- связанных состояний нет.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 3.8 и осцил-лянионной
теоремой.
В предыдущих задачах и в тексте мы рассматривали решение УШ исключительно
в координатном представлении. Это объясняется структурой гамильтониана Н:
кинетическая энергия квадратична по импульсам, и при любом U (х) мы
получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка. Напротив, потенциальная
энергия U (х) содержит, в общем случае, произвольно высокие степени х,
что при
переходе в импульсное представление ^ х -ih приводит к дифференциальным
уравнениям высокого (или неограниченного) порядка. В общем случае УШ в
импульсном представлении может быть записано как интегральное уравнение.
Решение этого уравнения в явном виде тоже возможно лишь в небольшом числе
случаев.
14. Найти нормированные ВФ стационарных состояний в импульсном
представлении для частицы в однородном поле
U (х)=Дх.
15. Найти нормированные ВФ стационарных состояний гармонического
осциллятора в импульсном представлении.
16. Найти спектр частицы в поле
U (х)=со (х < 0), U (х) =- " (х > 0),
решая задачу в импульсном представлении.
17. Найти спектр частицы в поле -qd (х), решая задачу в импульсном
представлении.
18. Найти произведение дисперсий Дх3 Др2 для л-го состояния
гармонического осциллятора.
19. Найти все СЗ и СФ оператора Фурье Р
+ю
*/(*)"-= [ eixx'f (x')dx'. г 2л J
- СО
?
3 П. В. Елютии, В. Д. Кривченков
Глава 4
МОМЕНТ
0. Для построения явного вида оператора момента^ импульса мы могли бы
воспользоваться правилами сопоставления, изложенными в п. 2.1. Однако в
квантовой! механике момент импульса не есть, вообще говоря, опе-1 ратор,
выражающийся только через xt и рк и действую-1 щий только на функции
координат. Поэтому мы вначале-установим коммутационные соотношения между
компонен-' тами оператора момента. Для этого мы используем связь' между
операторами проекций момента и унитарными one-! раторами, осуществляющими
преобразование поворота системы координат. Эти коммутационные соотношения
справедливы как для оператора орбитального момента, выражающегося через
х,- и рк, так и для спинового мо- i мента, не имеющего классического
аналога. Затем на основе коммутационных соотношений мы найдем спектр
оператора момента и его явный вид в различных представлениях.
1. Пусть в каждой точке "неподвижного" пространства определена некоторая
функция яр (л:, у, г). Рассмотрим две декартовых системы координат 2, S'.
Система S' получена из 2 путем поворота вокруг оси г на угол ср. Сравним
значение рассматриваемой функции в двух точках "неподвижного"
пространства, координаты которых в системах 2 и 2' имеют одно и то же
значение (х, у, г). Под "неподвижным" пространством мы понимаем некоторую
систему координат, отличную от 2 и 2'. Обозначим через ф'.(х, у, г) и ф
(х, у, г) значения функции в системах 2' и 2. Очевидно, что
ф' (х, у, г) = ф(хcosф - г/sinф, х sin ф + г/cosф, г). (4.1)
