Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
при Я<Л.
Так как по способу получения кпл ра А получаются в порядке возрастания.
и 1 X
иа
Рис. 10.
кп, то СЗ операто-
14. В качестве примера применения метода найдем энергетический спектр
частицы в поле (рис. 10)
U(x) =- Uс, chr2 (х/а). Гамильтониан частицы в таком поле имеет вид
и0
. Р_
2 пг
ch2(х/о)
= <2j ах -f- 7-х.
(3.46)
59
Выбирая оператор &х в виде
= Т7^= + Ф th - ,
У 2т а
найдем р из условия максимальности
ai4 = --fPi-&-)------------ Pi-
2т \ \' 2т a) ch2 (х/а)
Сравнивая с (3.46), найдем уравнение для (5:
-Pi = *i, PS --?|=^p1+t/o=0.
У 2т а
Выбирая наименьший корень уравнения, имеем
Ь-ЧушаЬ-УТ+Ф*-
Аналогично, полайая
7==- + Фи th
У 2т а
находим, используя (3.44),
гг== (Р" + Р"+х) + (Ая - А"+1) = О,
а V 2т
(Р"-Pn-j-i) + (An - А"+1) = 0.
Из этих уравнений следует соотношение
Рп+1=РГ+-^-
а У 2т
Так как Яп = -рй, находим энергетический спектр
еп=-и(;е(/п + \ - 1 КГ+4Г2)2,
где п ограничено условием (так как должно быть А"+1>
Ж)
"<-у + ~КТ+4р. (3.47)
Заметим, что если в (3.47) возможно равенство, т. е. параметры потенциала
таковы, что один из уровней дискретного спектра имеет (формально) нулевую
глубину, то из формул (3.13) следует, что при таких значениях ?
надбарьерное отражение в поле с потенциалом
U (х) = - U0 ch 2 (х/а)
60
отсутствует при любых значениях энергии падающей частицы. Формула (3.13)
применима и для ?/"< 0.
15. Рассмотрим движение частицы в поле с периодическим потенциалом
-{-оо
U(x) = q 2 Ь(х + па).
П= - ОО
Поскольку потенциал не обращается в нуль на бесконечности, решения УШ с
таким потенциалом могут существовать и не при всех значениях Е> 0. В
интервале
0<г<й УШ описывает свободное движение, и ВФ, согласно (3.4), имеет вид
я): (х) - Aeikx + Be~ikx. (3.48)
На основании теоремы Блоха имеем
ф (х + а) = еш (Aeikx + Вег1ЬХ). (3.49)
Сшивая решения (3.48) и (3.49) с учетом требований непрерывности функции
и заданного скачка производной, получим систему двух линейных уравнений
для А и В. Для того чтобы эти уравнения имели нетривиальные решения,
необходимо выполнение условия
cos хс = у Shf^a + cos ka, (3.50)
где введено обозначение y - mqa/h2.
Функция F (ka) в правой части уравнения (3.50) изображена на рис. 11.
Очевидно, равенство возможно только при значениях ka таких, что | F (ka)
\ sg 1. Такие области отмечены толстыми линиями на оси ka. Непрерывный
спектр разбивается на ряд ограниченных областей - энер-
61
гетических зон. К точкам ka = пп справа примыкают запрещенные зоны -
области, в которых \F(ka) |3^1. С ростом энергии запрещенные зоны
сужаются: левая часть (3.50) принимает значение (- 1)", когда
cos (6а - ф) = (- l)"coscp, tgф = feта,
т. е. при ka = nn и при ka = rm-\- 2ф. Отсюда следует, что ширина
запрещенных зон A=2arctg^. При больших п
пл
16. Собственные функции операторов р и х не принадлежат классу L2.
Поэтому они не описывают физически реализуемые состояния частицы; эти СФ
следует рассматривать как базисные функции, образующие полную систему в
смысле соотношений (1.15), (1.16). Поскольку в физически реализуемых
состояниях значения р и х описываются некоторыми распределениями
вероятностей, наряду со средними значениями р, х представляют интерес и
вторые центральные моменты - дисперсии этих распределений. Дисперсию
величины А
Л)2|ф> (3.51)
можно рассматривать как меру неопределенности ее значений. Дисперсии
значений величин, которым соответствуют некоммутирующие операторы,
связаны с коммутатором этих операторов:
[х, у] = (Л. (3.52)
-А А
Рассмотрим среднее значение оператора LAL, где L = x + iyy - (x + iyy),
Л А
операторы х и у эрмитовы, а у - действительный параметр. Собственные
значения оператора L+L неотрицательны (см. задачу 1.15), поэтому
неотрицательно и среднее значение:
<ф | [(х - х) - iy (у - у)] [(х - х) A-iy (у- у)]! Ф> 5= 0,
(ф | (Ах)2 + у2 (Ау2) + iy [х, г/j | ф> 0.
62
Используя равенство (3.52), отсюда находим Ах2 -ф у2 Д у2 - у А 0.
Поскольку это неравенство выполняется при любом значении у, то
дискриминант трехчлена неположителен, т. е.
А2 -4 Ах2 Ау2 ^ 0.
Итак, имеет место неравенство
Л^^=>Л2/4. (3.53)
Это выражение называется соотношением неопределенностей Гайзенберга.
Отметим, что для его вывода необходима эрмитовость операторов х, у.
Поэтому соотношение (3.53) неприменимо для состояний, которые описываются
собственными функциями операторов х или у.
Коммутатор операторов координаты и компоненты импульса в декартовых
координатах пропорционален единичному оператору:
IPi, xt] = - ifl.
Поэтому в любых состояниях, описываемых ВФ из L2, будет выполняться
соотношение неопределенностей
IV Л*5 #74. (3.54)
В классической механике значения р их определены одновременно. В этом
смысле состояния, наиболее близкие к классическим, будут описываться ВФ с
минимальным произведением неопределенностей. Им соответствует знак
равенства в формуле (3.54). В силу неотрицательности СЗ оператора UL
такие состояния должны описываться СФ оператора L с собственным
