Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так как выбор системы координат не меняет нормировки ВФ, то
преобразование функций осуществляется унитарным оператором. Для того
чтобы установить вид
66
оператора (J+ (ф), который функции ф (х, у, г) ставит в соответствие
функцию ф' (х, у, г), рассмотрим бесконечно малый поворот на угол е?ф.
Сохраняя в (4.1) только линейные по dcp члены, имеем
ф'(х, у, г)^ф(х - у dtp, xdy + y, г) = (1 + 17ге?ф)ф(х, у, г). Здесь
введено обозначение
Л 7 Л А ДА о
I г~ fl \ ХР у У Рх) >
которое соответствует оператору г-проекции момента импульса, построенному
по правилам п. 2.1 и деленному на Ь. Легко убедиться, "что при повороте
на конечный угол ф получим
Ф' (X, у, г) = еп^ф (х, у, г), (4.2)
Таким образом,
L/+ (ф) =е'*гф.
2. Рассмотрим некоторый векторный оператор А, действующий на функции
координат ф(х, у, г). Потребуем, чтобы компоненты Ах, Ау, Аг имели один и
тот же вид в системах 2' и 2. Разумеется, средние значения оператора А,
вычисленные в системах 2', 2, должны совпадать, если рассматривать их из
"неподвижного" пространства:
^ ф'* (х, у, z) (АХУ + A,,j' + AJк') ф' (х, у, z) dr =
= \ Ф* (*, У, г) (AJ + Ауj -f Azк) ф (x, у, z) dr. (4.3)
Рассмотрим следствие этого равенства. Поскольку орты систем 2, 2' связаны
соотношениями
V = i cos ф-f- j sin ф,
j' = - i sin ф -1~ j cos ф, (4.4)
k' = k,
а функции ф' (x, у, z) и ф (x, у, z) связаны унитарным преобразованием
(4.2), то, подставляя (4.2) и (4.4) в (4.3), получим
А хе~'1^ = Ах cos ф - Ау sin ф, е^г'рАуе~''~<1> = Ах sin ф + Ау cos ф,
(4.5)
/1^А^й^ = Аг.
3* 67
Рассматривая бесконечно малый поворот и раскладывая левые части равенств
(4.5), находим коммутационные | соотношения
[L Ax] = iAy,
14" Ау\ 1/4Л
[L 41=о.
(4.6)
Аналогичным путем можно получить А коммутационные соотношения между
компонентами Ах, Ау, Аг и операторами 1Х, 1у.
3. Итак, мы получили коммутационные соотношения (4.6), основываясь на
следующих требованиях:
а) ВФ при переходе от 2 к 2' преобразуется согласно (4-2); А .
б) компоненты векторного оператора Ах, Аи, Az имеют один и тот же вид в
различных системах 2, 2';
в) векторы среднего значения векторного оператора А в системах 2 и 2'
совпадают для наблюдателя в "неподвижном" пространстве.
Можно перейти к другому представлению, в котором ] координатная ВФ при
переходе от 2 к 2' не меняется, а сами векторные операторы преобразуются
как векторы. Переход к такому представлению в случае поворота на ,j угол
ф вокруг оси z осуществляется оператором С (ф):
(*, У. г) = ф (х, у, 2).
При этом
е-4*Ае"> = А\
или, используя формулы (4.5),
А'х = Ах cos ф + А у sin ф = е~**УАхе,^*ф,
Ау = - Ах sin ц> + Ау cos ф = ё~11^ Ауё A'z = Az = e-ilz4AzeilA.
Разумеется, переход к новому представлению осуществляется унитарным
оператором, поэтому коммутационные •соотношения (4.6) не изменяются.
Такое представление удобно для нахождения интегралов движения. Заметим,
08
,+"гФ
что оператор А2 есть инвариант по отношению к поворотам:
е~''~<рА2е"г<р = А'2 = А2.
Следовательно,
[/" А21 = 0. • (4.7)
Если оператор Гамильтона имеет вид
й=?+и(г),
то при вращении вокруг произвольной оси, проходящей через начало
координат, он сохраняет свой вид. Следовательно,
[I, Я] = 0,
и операторы /,• являются интегралами движения.
Отметим, что представление, рассмотренное в п. 4.2, аналогично
представлению Шредингера - используются инвариантные операторы и
преобразующиеся функции,-
а представление, рассмотренное в п. 4.3, аналогично представлению
Гайзенберга -используются инвариантные функции и преобразующиеся
операторы.
4. Пусть Ai суть компоненты векторного оператора, действующего на
функции координат. Операторы //,
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
ih> Д/] = iEijkAk, (4.8)
\U, ij\ = ieijkL (4.9)
называются компонентами оператора орбитального момента. Далее, из (4.7)
следует:
Р\ = 0. (4.10)
Разумеется, (4.10) можно получить и как непосредственное следствие из
(4.9). Имея в виду дальнейшее обобщение, рассмотрим спектр векторного
оператора момента J , компоненты которого- удовлетворяют соотношениям
IД, /*] = ie-ikjJj-
Оператор квадрата момента J2 коммутирует с каждой из его компонент.
Следовательно, существует общая
69
система СФ
4фуц = Y'PvH"
++n = Н+уи-
А А
Операторы Jt и Jk (i ф k) не коммутируют и общей системы СФ не имеют.
Найдем спектры операторов J2 и Jz.
Введем операторы
Jх + iJyi
J - - J х iJ и'
Рассмотрим коммутатор [J2, J±]:
J zJ + ^ -±Ф Z-- [/Z* J л] ~ i ["^ Zt J,] ^ А у J_ J,
jA=4(4± i),
Jz (J+il)w) = ((i± 1) (/+фу").
Следовательно, сУть также СФ Je с собственным
значением р± 1, т. е.
J+Фу, ц-1 --
•^-ФуИ = Р|-+\. К-1 •
Так как
- (Т++¦, ц-i' +и) - (+v. ц-1> ++уи) - Р
и"
то подбором фазового множителя вида ёа (а--действительное) для функций
можно сделать аи действительным и равным Рн- Тогда
Так как
j +Фу, |iT - ^цфуи" +4+1 - ан114', ц-1*
(4.11)
т-(фуц, [4+4+41 Фур)=р2+а+/?,
(2 = (фуц, Jл-фуц) = (+l]+n +4+11 О"
^ = Сфуц> +4+iJ ~ С+4+и +4+i) 5= о
