Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
8. Определить средний потенциал электрического поля, создаваемый атомом
водорода в основном состоянии.
9. Найти дискретный спектр частицы в поле
у ф>о).
10. Найти решение УШ в поле с потенциалом
U (г) = - U0(~-J.
Показать, что при ?-2- I (I +1) < 1/4 связанных состояний нет. Отметим,
что граничное условие (5.7) в этой задаче неприменимо из-за сингулярности
потенциала. Поэтому любое квадратично интегрируемое решение УШ будет
описывать связанное состояние.
11. Случайное вырождение по I уровней энергии трехмерного осциллятора
указывает на наличие сохраняющихся операторов, не
коммутирующих с Р. Найти эти операторы и их коммутационные соотношения С
fj и
Потенциалами, рассмотренными о пп. 5.5, 5.11 и о задачах 5.9 и,5.10,
практически исчерпываются случаи, когда УШ допускает точное решение при
любых значениях I. Для короткодействующих потенциалов мы ограничимся
рассмотрением s-состояний.
12. Найти спектр s-состояний частицы в поле
U(r)=- и<?~г/а.
13. Найти спектр s-состояний частицы в поле
U(r) = Uv(er/a-iy1-
14. Рассмотреть предельный переход ?/0-"-со, а->- 0 для сферической ямы в
s-случае. Найти условие, при котором в пределе остается одно связанное
состояние заданной энергии.
1"5. Взаимодействие между нуклонами зависит от их спинового состояния. В
триплетпом состоянии взаимодействие можно описывать короткодействующим
потенциалом притяжения с глубиной U0 20 - -- 30 Мэе и характерной длиной
а ="2- 10~ls см. Найти Л-максимальное значение момента, при котором может
существовать связанное состояние двух нуклонов.
16. Используя результат задачи 5.8, оценить возможность устойчивого
существования иона Н( .
Глава 6
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
0. Точное решение УШ возможно лишь в небольшом числе случаев. Во многих
задачах, однако, гамильтониан может быть представлен в виде
Н = Йо + гУ, (6.1)
причем уравнение
= <р (6.2)
допускает точное решение, а оператор возмущения еУ в некотором смысле
мал. Методы отыскания решений (приближенных) УШ с гамильтонианом (6.1)
составляют предмет теории возмущений. В этой главе мы используем теорию
возмущений для нахождения дискретного спектра Н и соответствующих
собственных функций.
1. Пусть известны решения стационарного УШ
Нофт ~ ^тфт • (6.3)
Допустим, что СФ и СЗ уравнения
Яфт = ?тфт (6.4)
можно представить в виде разложения по степеням малого параметра е:
СО
Фт = 21 е"Фт , (6-5)
п = 0
со
?m=Se"?W. (6.6)
л = О
Такой метод, при котором СФ и СЗ представляются
в виде разложения по степеням малого параметра, назы-
вается теорией возмущений Рэлея - Шредингера. Нумера-
109
ция Ет выбрана такой, что при е->-0 Ет->ет. Подставляя (6.5), (6.6) в УШ
(Я0 + еУ) фт = ?"Л",
получим
ЯоЕ^ + ^Е8"*^^6" ? Е<?^-г). -
r = 0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
(Яо~?^)ф^ = 0, (6.7)
(Я0-?№)ф^ +№f)- (6.8)
г = I
В дальнейшем параметр е будем включать в оператор V. Рекуррентную формулу
для Е$ получим, умножая (6.8) на фт'* и интегрируя по всем значениям
аргументов:
S- 1
??> = (т<0) | V | гФ~Ъ) - Е Е% <т(0) I "<*-'>>. (6.9)
Г=1
Полагая s = 1, получим, учитывая (6.7),
= (ш(0) | V | т(0>). (6.10)
Поправка первого порядка есть среднее значение возмущения в состоянии фт.
Определение высших поправок к энергии требует использования поправок к
ВФ. Разложим фт по невозмущенным СФ <рт (считая, что Н0 имеет только
дискретный спектр):
Фт = Е (6.11)
k
Подставляя (6.11) в (6.8) при s = 1, умножая на фй01* и интегрируя,
находим
а(tm)г (en~em) + (m\V \ п)= (m\V \ т) 6тп, (6.12) где введено обозначение
(т | V | п) = (ф(tm), VV') = Vmn- (6.13)
Если СЗ не вырождены (етФеп), то при тфп формула
(6.12) дает
При m - ti уравнение (6.12) удовлетворяется тождественно; если положить
о^ = 0, то ВФ
W = С' + У № (6-15)
*** еп ет т
(где штрих у знака суммы означает, что слагаемое с т = п исключено из
суммирования) будет нормирована с точностью до первого порядка по е.
2. Полагая в (6.9) s = 2, для поправки к энергии второго порядка
получаем
= <п<°> | V ! и(1)> - EV <п<°> | п">).
Используя разложение (6.11) и то обстоятельство, что в силу эрмитовости
(m | V \ п) = (п | V | т)*, получаем
= LIMJi. (6.16)
т
Это выражение можно преобразовать, учитывая соотношение
2l(m]V\k)(k\V\n) = \(m\V*\n)\, (6.17)
к виду
f 21 1
еп
\п I И21 п) - "п 11/ I п"2 - 2' \(m\V\n) Я
т " ' J
(6-18)
Формула (6.18) иногда более удобна для вычислений, чем (6.16), например,
если |?OT|<<!| Дл|. т0 вклад таких слагаемых в сумму в (6.18)
незначителен.
3. Для поправок высших порядков, полагая
ф(") _ У a(s) g,
* п тп*т9
т
из (6.8) находим
?;->=2'"г,-0и- Б г"-'1.
m л=2
где
Cm) = 6m<)
1 Г
т/ ei -
е1 ет
111
При определении возмущенных ВФ для вычисления коэф-
р
фициентов а^т мы будем требовать, чтобы функция ^ Фт*
п=О
была нормирована с точностью до ер. Это приводит к условию
2 <m">|m<-"> = 2 Е("-Ч";-*ио.
k = 0
/г = 0 s
Мнимые части всех а^>т, влияющие на фазу фт, мы будем полагать равными
