Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
функция ф0(/-) не удовлетворяет условию (5.7). Функция первого
возбужденного состояния фл (х) нечетна, так как имеет один только нуль;
соответствующее решение фл (г) удовлетворяет условию (5.7). Таким
образом, дискретный спектр для радиального УШ (5.5) содержит хотя бы одно
значение, если дискретный спектр одномерного УШ с потенциалом V (| х 1) =
U (г) содержит не менее двух значений. Последнее условие выполняется не
всегда.
91
4. Если монотонный потенциал притяжения U (г) <0j слабо сингулярен при r
= 0 (lim U (г) г2 - 0) и убывает^
при быстрее, чем г~2,
то существует некоторое пре- j дельное значение момента Л такое, что при
I > Л связанные состояния отсутствуют (кривая d на рис. 13). Необходимым
ус-, ловием существования дискретного спектра является существование
области гг<г<г2, в которой Ел(г)<0 (рис. 13, s и р). Будем рассматривать
I как непрерывный параметр. С ростом I корни /у, г3 уравнения Н,(г) = 0
сближаются, переходя', при / = Адг в двукратный корень г0. Пусть U (r) =
U0f (r/а). Тогда в точке r0 V а (г0) = О, НЖ/'оНО, т. е.
1, f (l_\ - A(A+l)ft" u0f I " I - ошга >
и"
а
г(~)=
2Л(Л+1) П* 2 tnrl
(5.10)
(5.11)
Разделив (5.10) на (5.11), получим уравнение, определяющее г о = ах0:
/(*о) = --|-П*о),
зависящее только от вида функции f (х). Подставляя это ' значение в
(5.10), получаем
и о ¦ hnrl
Л(Л+ 1):
т
¦f(x0) = t2{xtf(x0)}. (5.12)
Максимальное значение Л, совместимое с (5.12), обозначим Лдг. Величина в
фигурных скобках есть безразмерная константа порядка единицы. Таким
образом, при E~2!>li
Л^*-1
5. Рассмотрим энергетический спектр и ВФ связанных состояний для системы
двух зарядов. Связанные состоя- j ния существуют только в случае
притяжения. Такая:] система описывает свойства атома водорода и
водородоподобных ионов (Не+, Li++ и т. д.). Уравнение для
92
радиальной ВФ:
i? + t?-ij^r+^{e+t)r=s0> (5ЛЗ)
где константа а, характеризующая потенциал, есть Ze2. Здесь е - заряд
электрона, a Z - целое число, равное заряду ядра в единицах е. Константы
е2, т и Н позволяют построить величины с размерностью длины
"о = ^ = 0,529-10-8 см,
называемую боровским радиусом, и времени
^о = ~ = 0,242-10^16 сек. и те4
Эти величины определяют типичные пространственно-временные масштабы для
атомных систем, поэтому их удобно использовать в качестве основы системы
единиц (так называемые атомные единицы). -
Уравнение (5.13) имеет в атомных-единицах (при Z= 1) вид
Ия + 2(? + 1)я = °. (5.14)
ПрнКсО движение финитно и энергетический спектр дискретен. Нас интересуют
решения (5.14), квадратично интегрируемые с весом г2. Введем обозначения:
1 2 г
"=='1/-or'" Р= у -2 Е п
Уравнение принимает вид
|?+}^+[т-т-^]*=°. да.16"
Найдем асимптотики радиальной функции R(r). При р-*оо, опуская в (5.15)
члены ~р-1, р~2, получаем
dm R dpa 4
Поэтому при больших р R^e- р 2; требованию нормиро-ванности удовлетворяет
только R ^егР-2. Асимптотики при г-> 0 были определены в п. 5.2.
Подстановкой
R (р) - Р/е~p,2w (р) (5.16)
93
уравнение (5.15) сводится к виду4
d2w
г dp2 1.(2/ + 2-р)-^ + (п-/-1)ш = 0.
Решение этого уравнения, конечное при р = О, найти, подставив w (р) в
виде степенного ряда
ш(р)=1
(О-V) _ , (0-у) (1 -
+
(0+Х) ' ' (0 + Ь) (1+Х,) 2! (О-v) (1 - v) (2-v) р3 (0+*.)(l+k)(2+?i) 3!
легко
(5.17)
где
'К - 21 "I- 2, - v -¦ - n-\-l~}- 1 -
При р-4-оо функция w (р) должна расти не быстрее конечной степени р, для
этого v должно быть целым. Тогда ш(р) будет полиномом степени v. Итак,
- п + 1+ 1 = -6, n = l+l+k (k = 0, 1,2,...) (5.18)
при заданном значении I. Отсюда, используя определение п, находим
энергетический спектр
1
Еп-
2/г2 *
(5.19)
Число п называется главным квантовым числом. В обычных единицах это
выражение имеет вид
те4
Еп = - Z2
2Ъ2п~ •
(5.20)
Эта формула была получена Бором (1913 г.) на основе старой квантовой
теории, Паули (1926 г.) из матричной механики и Шредингером (1926 г.) с
помощью решения дифференциального уравнения.
Задача о спектре атома водорода представляет уникальный пример проблемы,
допускающей точное решение, прекрасно согласующееся с экспериментом.
6. В классической механике при движении в кулонов-ском поле притяжения
сохраняется вектор Рунге -Ленца
А = -+ -[1р].
г 1 та 1
(5.21)
Докажем это:
dA
г (гг)-г (гг)
Из уравнений движения находим
Используя тождество
[г [гг]] = г (гг) - г (гг),
получаем
.-й + ^-О. (5-22)
dt тг3 тг
В квантовой механике вектору А сопоставляется оператор
Л f I Л Л л Л
А = у + у{['р]-[рШ. (5.23)
Мы положили Z - 1 и использовали атомные единицы. Оператор А коммутирует
с гамильтонианом
И _ Р2 1
~2 Т'
Компоненты Лг связаны коммутационными соотношениями [Ль Aj\ = - ie,jkik ¦
2Н (5.24)
с компонентами оператора орбитального момента. Компоненты оператора Рунге
- Ленца не коммутируют с компонентами U\ в силу общих соотношений (4.8)
[hi A/] -ieijhAk. (5.25)
Наличие не коммутирующих между собой и сохраняющихся (т. е. коммутирующих
с Н) операторов А,-, /2 ведет, согласно общим результатам п. 1.18, к
