Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
возрастающей функцией, что несовместимо с (3.17). Мы будем нумеровать
состояния дискретного спектра в порядке возрастания энергии, присвоив
основному состоянию - состоянию с наименьшей энергией - обозначение Е0.
Позже (в главе 5) мы увидим, что требование ограниченности U (х) снизу
есть достаточное, но не необходимое условие ограниченности снизу
дискретного спектра.
б) Состояния дискретного спектра в одномерном случае не вырождены.
Допустим противное: яр (х) и ср (х) суть линейно независимые решения,
соответствующие одному значению Еп. Вычитая
^ | яр (х) |2 dx < оо.
(3.17)
2|-яр" = [Д-П(х)]яр
из
получим
ярф" - фяр" = 0 = ~ (ярф' - фЯр').
Интегрируя от -со до х, получим
50
Итак,
(In г]))' - (1п ф)' = 0, ф = const-ф,
что противоречит предположению о линейной независимости.
в) Для состояний дискретного спектра справедлива осцилляционная
теорема: ВФ ф" (х), соответствующая значению Е," имеет при конечных
значениях х точно п нулей.
9. Рассмотрим движение частицы в поле прямоугольной ямы:
При E>Uо движение частицы ннфинитно. Коэффициент прохождения получим из
(3.9), поменяв местами k и д:
При Е <iU0 ВФ экспоненциально убывает при х •< 0 н х>а: частица совершает
финитное движение, находится в связанном состоянии. Энергетический спектр
- дискретный - определим из условий непрерывности для ВФ (вместо
требования непрерывности ф н ф' в точках 0 и а удобнее воспользоваться
требованием непрерывности ф н ф' • ф-1):
При х е (0, а) можно выбрать ВФ действительной:
Из условий непрерывности ф'-ф 1 следуют уравнения
U(x) = U0 (х<0, х>а),
U (х) - 0 (0<х<п).
(3.18)
х<0: фL - Ae'ix х>а: Фя = Ссгт-
ф.,1 = .Взт(&х-|-6).
&ctg6 = - у. Эквивалентные уравнения:
51
Исключая из этих уравнений 6, получаем
kb пп - ка
aresin
V'2 mU0
(3.19)
Вводя переменные
о ka
Р = Т-
получим уравнения cos р = ± sin р = zh 2?р
Корни этих уравнений спектр частицы в прямоугольной яме:
/7 _2ряй2
а 1 2 milо
(п нечетное, tg р > 0), (3.20)
(п четное, tgp<;0). (3.21)
(J" определяют энергетический
(3.22)
Число корней уравнений конечно. Для неглубокой ямы (U0->0, g->-oo)
уравнение (3.21) не имеет корней, а (3.20) всегда имеет корень. В
прямоугольной яме всегда есть по крайней мере один дискретный уровень. С
ростом глубины ямы (U оэ, ? 0) число уровней растет, становясь
в пре-
деле бесконечным. Переходя к пределу в (3.19), получим энергетический
спектр частицы в такой яме - прямоугольном ящике:
nn = ka, Е" = п2
я "Ь°
2та" '
(3.23)
10. Рассмотрим другой предельный случай: узкую и глубокую прямоугольную
яму. Удобнее изменить начало отсчета энергии, положив (рис. 8)
Полагая
U (х) = 0 U(x) = -U0
(х < 0, х>а), (0 <х<а).
(3.24)
k = ±V2rn(U0-\E\
непосредственно из (3.19) получаем уравнение
jr У 2т (П0 - | Е |) = пп - 2 arcsin j/~ 1
U о
(3.25)
52
Пусть яма углубляется и сужается так, что ее площадь остается постоянной:
U0-*- оо, а-у 0, U0a = q. (3.26)
Уравнение (3.25) можно переписать в виде
V 1-^=пп-2атС5'т}/Г1-]117- <3-27)
При переходе к пределу левая часть (3.27) стремится к нулю.
Следовательно, может существовать только одно связанное состояние с /г=
1. Так как
arcsin ]Л _i|L = arccos ^_ |/\Ш.,
то из (3.27) следует:
9|Л^ = 2|/|?], Е = (3-28)
Таким образом, в пределе (3.26) в прямоугольной потенциальной яме есть
одно связанное состояние, энергия которого определяется параметром q -
U(la. Выражение
(3.28) имеет и более широкую область применимости. Оно относится ко
всем потенциалам
(/(*) = -IV (*-), (3.29)
которые при переходе (3.26) имеют своим слабым пределом 6-функцию Дирака
lim U (х) = - г/6 (.v).
Рассмотрим УШ с 6-потенциалом
- (х) ф = ?ф.
Нормированная ВФ при хфО есть
ф = ]Л(3.30) где _____
х=уг-? (Е<0>•
В точке х -0 вторая производная ВФ имеет интегрируемую сингулярность.
Следовательно, ф' испытывает конечный скачок, а ф(х) непрерывна.
Интегрируя УШ в окрест-
53
ности точки 0, получаем
ft3 /d\p 2т \dx
d\1>
dx
<7Ф (0).
Подставляя (3.30) в это уравнение, находим
к = -
mq № '
р Т31
с ~ 2т
При конечных значениях параметров U0, а выражение (3.27) имеет смысл
главного члена разложения правой части равенства
E = U0 фГ2) по степеням малого безразмерного параметра
2mU,fl2
т
(3.31)
Это обозначение для безразмерного параметра, характеризующего потенциал U
(х), однозначно представимый в виде
(3.29), мы будем использовать постоянно.
11. Рассмотрим движение частицы в поле с потенциалом (рис. 9)
11/ \ TTKSi"
и (х) = -т-зг.
Рис. 9.
Как и в классической механике, мы будем называть такую систему
гармоническим осциллятором. Движение частицй при любой энергии будет
финитным: ни при каких Е на всей оси не выполняется условие E>U0.
Существует только дискретный спектр. Гамильтониан имеет вид
Я = ;
ШЙ2Х2
2т 1 2 '
Уравнение Шредингера для стационарных состояний:
ткгх-'
или, в безразмерных переменных
ф = 0,
1 Г ты " 2 Е
У -Т-х,
Йш'
, п
• г2) ф = 0.
(3.32)
54
Асимптотику ВФ при z->-oo найдем, опустив в (3.32) величину А, -малую по
