Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
- энергетическим спектром. Для -стационарных состояний уравнение
Шредингера имеет вид
/Й% = ?"фп = Яф". (2.16)
Интегрирование по времени непосредственно дает временную зависимость
волновых функций стационарных
2 П. В. Елютин, В. Д. Крнвчепкоз 33
состояний
? I
ф"(/, х) = е к " ф"(х),.
где <р"(х) -функция одних только координат. Распределение вероятности
зависит от квадрата модуля волновой функции:
р (х) = | ф" (/, х) |2 = | ф" (х) |2, (2.17)
и остается во времени постоянным. В стационарных состояниях среднее
значение коммутатора [Я, А], где Л- любой оператор, обращается в нуль:
(п [ НА - АЯ |я> = Еп (п\ А |п) - Еп (п |А I л> - 0.
Пусть Н - гамильтониан частицы в поле U (г), а А - оператор W,
определенный формулой (2.1). Тогда
<ф|[л, Я] |Ф> = 0 = - ift (2<ф [ Т |ф> - <ф| г ¦ Vf/1ф>).
Первый член в скобке есть удвоенное значение средней кинетической энергии
Т. Если U (r) = U0rn, то второй член в скобке есть просто nU. Таким
образом,
T = n2U. (2.18)
Соотношение (2.18) называется теоремой вириала. Приведем еще одно
соотношение для стационарных состояний частицы с гамильтонианом Я (2.11).
Из (2.9) следует, что
й]=4р-
Вычисляя матричные элементы обеих сторон этого равенства с помощью ВФ
стационарных состояний, получим
^(n\p\k) = (Ek-En)(n\r\k). (2.19)
10. Энергетический спектр может быть как дискретным, так и непрерывным.
ВФ дискретного спектра в координатном представлении могут быть
нормированы условием
$|ф" (х) |2dx=l. (2.20)
Это означает, что плотность вероятности убывает при больших х достаточно
быстро, чтобы интеграл в (2.20) сходился. Вероятность нахождения частицы
вне некоторого
34
конечного объема может быть сделана сколь угодно малой. Частицы совершают
финитное движение. Поэтому состояния дискретного энергетического спектра
называются связанными.
Для ВФ непрерывного спектра ф>, (х) дать непосредственную вероятностную
интерпретацию нельзя, так как интеграл от плотности вероятности по всему
пространству расходится. Физический смысл имеют только состояния,
соответствующие квадратично интегрируемым ВФ <р. Если такая ВФ
представима в виде линейной комбинации ВФ непрерывного спектра
Ф = $а(А)ф;,(х) dx,
то мы будем говорить, что она соответствует инфинитному движению. В ряде
случаев функция а (А) заметно отлична от нуля только в окрестности точки
А = А0; свойства таких ВФ во многом близки к свойствам функций фу (х).
Рассмотрим изменение со временем вероятности нахождения в объеме Q
частицы с гамильтонианом Н (2.11):
"7=5 Жх, о РА ? =
" h
Используя уравнение Шредингера, получим
Ж = - Ф*Яф) dx. (2.21)
h
В правой части (2.21) отличны от нуля только члены с производными.
Учитывая соотношение
fAg-gAf^ div (f grad д-g grad f), получим уравнение
-J = - сЛу^-(фГф*-ф*?ф)dx. n
Преобразуя объемный интеграл в поверхностный по теореме Гаусса, получаем
§ 2?(фУф*-ф*Уф)с/5. (2.22)
2(?2)
Величина
](Ф) = |Г(Ф^ф"-ф^ф)
2* 35
называется плотностью потока вероятности. Уравнение
(2.22) имеет смысл уравнения непрерывности. В дифференциальной форме
оно .имеет вид
g + divj=0.
Уравнение непрерывности означает, что вероятность нахождения частицы в
объеме Q может измениться только за счет перехода частицы через границу
объема: УШ с гамильтонианом (2.11) не описывает источников (и стоков)
частиц. Если ВФ имеет вид ф (х) = AR (х), где R (х) - действительная
функция, а А - комплексная константа, то j (яр) = 0. Для собственных
функций импульса
ф(х) = -РХ
v ' (2лй)3/2
плотность потока вероятности
j (Ф):
Р
т (2лй)3
пропорциональна импульсу и не зависит от координаты.
'
11. Если гамильтониан Я инвариантен по отношению к переносу на любой
вектор а:
Я(г + а) = Я(г), (2.23)
то должен существовать унитарный оператор Г (а) такой, что
Г+ (а) Я (г) Т (а) = Я (г + а).
Поскольку последовательные переносы коммутируют:
' Т (а) Г (b) = Т (b) Т (a) = T (a + b), то оператор Т должен иметь вид
Т = е*а,
где К, -некоторый эрмитов оператор. Рассмотрим бесконечно малый перенос
Т (ба) НТ (ба) ^ (/ + /К ба) Я (I - г'К ба),
Я (г) + i [К, Я] ба = Я (г) + (УЯ) ба.
Из сравнения с (2.4) находим явный вид оператора К:
К = /Нр.
36
Из условия (2.23) следует, что [р, Я]=0, т. е. импульс есть интеграл
движения. Состояние системы описывается СФ импульса
_ з i
ф(р, г) = (2яй) 2 ел РГ.
При унитарном преобразовании Т
i
- ра
еп ip(r) = i|)(r + a).
i
а - - ра
Оператор пространственного переноса 74 - е п аналога -
гичен оператору "временного переноса" S -е п , введенному в п. 2.8.
12. Гамильтониан может быть инвариантен по отношению к дискретному
набору переносов. Например, в кристаллической решетке
Я(г + а) = Я(г), (2.24)
если а = У] яцщ, где nt - целые числа, аг - базисные векторы
i
решетки. Для функций стационарных состояний
. "С)Ч>(г) = ?Ч.(г), _
Я (г + а) ф (г + а) = Дф (г + а) = Я (г) ф (г + а).
Поэтому ф(г) и ф(г + а) суть СФ Я (г), соответствующие одному и тому же
значению энергии. Можно представить связь между этими решениями в виде
