Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
сравнению с г2. Асимптотическим решением уравнения
ф" - г2ф = О,
убывающим при г->±оо, будет (с точностью до главных членов) функция е_г2А
Ищем решение (3.32) в виде
ф(г) = е-^'2ф (г).
Подстановкой в (3.32) получаем
ф" 2гц/ ф- рф = 0, (3.33)
где ц = А - 1. Решая это уравнение подстановкой степенных рядов, получаем
Ф = afx -f pf,,
р 1 I (°-м) 7i I (0-м) И и) 4 .
* ' 2! 4! г
+ (°->0(4-Ц)(8-ц) . ^ (3.34)
F-i = z + z3 + (2 - ^°5|6 ~ ^ ¦ z5 +
_р (2~й) (6-М)("°-и) 27 _р... (3.35)
Нас интересуют решения уравнения (3.33), которые при z->oo растут не
быстрее конечной степени г; из (3.34) и (3.35) видно, что ф (г)
удовлетворяет этому условию только при р = 2/г (/г = 0, 1, 2, ...). При
других значениях р оба ряда содержат бесконечно много членов,
знакопостоянных с некоторого члена. При р = 2/г одно из разложений Flt F2
превращается в полином (Fr - при р - 4k, F2 - при р = 4/г ф- 2) -
нетривиальное решение, возрастающее достаточно медленно. Отсюда определим
энергетический спектр:
yi--2k, А= 1 -{-2k,
?*=4"( 1+2/е). (3.36)
ВФ стационарных состоянии имеют вид
ф* (*) = Ake~z2'2Hk (z),
где Ак - нормировочные коэффициенты, Я* (z) - полиномы Эрмнта, которые
определяются (с точностью до множителя)
55
первыми членами разложений /д для четных k и Р2 для' нечетных k:
Я" = 1, Я1 = 2г, Я2 = 4г2 - 2.
Полином Эрмита Н,, имеет k действительных корней; это - частный случай
осцилляцнонной теоремы, упомянутой • в п. 3.8.
12. Выразим гамильтониан гармонического осциллятора
р2 , tnus-x-
2m 1 2
через безразмерные операторы
а ' I Атш а л 1
Q=*l/ -г, Р = р-=,
f п у fimo)
[A Q] = |[P. х] = - t:
? = ~(p2+q2).
Введем новые операторы
"+=^(Q-i'A, " = А($+'А,
[а, а1] = 1 [Q, - /Р] + A [iP, Q]= 1.
Операторы, определенные таким коммутационным соотношением, уже
рассматривались в задачах к главе 1:
"+а = 4 №2 + ^ "* [A Q]} = 4- (р2 + Q2) - I •
Гамильтониан, выраженный через новые операторы, имеет вид
Я = Й1о(а+а-{-1/2).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Яф = ?ф
удобно записать в безразмерных величинах:
(а+а + ±)ф = Аф = вф.
56
Рассмотрим действие оператора ал: а 'Яфс - ей*фЕ, о+ (а+а + 1/2) фЕ = а1
(аал - 1/2) фЕ = (Я - 1) й+фЕ,
(Я - l)йHV:=eй+Фe>
Я(d+ фЕ) = (е+1)(<г+фЕ).
Итак, если фЕ -собственная функция гамильтониана, соответствующая
собственному значению е, то Фе+1 = <з+Фе есть собственная функция,
соответствующая СЗ e-f 1:
<э+фЕ = <7фЕ+1.
Найдем нормирующий множитель q, считая фЕ нормированной:
(а+фЕ, а+фЕ) = (фе, йа+фЕ) = | <712> о+офЕ = (е - 1/2) фЕ, 0й+фЕ = (е +
1/2) фЕ,
| 9|2 = (е+ 1/2) (фЕ) фЕ), q = Y e-f 1/2,
a*tye = Ye + 1/2фе+1. (3.37)
Аналогично
афЕ = ]/е - 1/2 фе-!. (3.38)
Найдем наинизший энергетический уровень. По определению
оф0 = 0, о+аф0 = 0, (3.39)
Яфо = Соф1 о = (о+а + 1/2) ф0: (3.40)
Из формул (3.39) н (3.40) следует, что минимальная энергия
осциллятора е0 =1 /2. Поскольку ранее было пока-
зано, что разность между соседними СЗ гамильтониана равна единице, то для
энергетического спектра осциллятора в обычных единицах получаем
En = (n+~J Йю.
С помощью операторов а4 и а можно определить и вид волновой функции:
сф0 = 0 = (Q + iP) фо,
0Фо = -^°-, ф0 = Ae-Q*'-.
57
Нормировочный множитель А определяется из условия \ Ф2 (Q) dQ = А2 \ e-v
dQ = Л2 ]/я = 1,
А = лг1/4.
Так как оператор а+ уже нормирован соотношением (3.37), то и ВФ получим
сразу в нормированном виде:
а+ф" = 1/"+1ф"+1,
• р== (а+)л ф" = ф",
фя = (2" • л! У я)1'2 (Q - er-W,
Фп = (2" • п\ Т^зх) 12 Я" (Q) с~Ф'2, где Нп (Q) - полиномы Эрмита,
определенные в п. 3.11.
Матричные элементы операторов Риф также могут быть вычислены с помощью
операторов а и а'г:
о+ф" = Т/""+1фя+1.
(о+Фп, фт) = 1/Г" + 1б"+1,т,
i1<n + l|Q-/P|n> = ]/rT+T, (3.41)
^<n+l|Q+/P|n) = 0. . (3.42)
Из этой пары уравнений (3.41), (3.42) получим
<n+l|Q|n> = y^p, (п+1|Р|") = /уЛ"±1, (3.43)
и аналогично для (n|Q|" + l), (n|P|n + l); при этом легко проверить, что
матрицы Q и Р эрмитовы.
13. Использованный в п. 3.12 метод факторизации* можно применять для
отыскания спектра любого эрмитова оператора, собственные значения
которого ограничены снизу. Изложим метод в общем виде.
л
Представим оператор А, спектр которого требуется найти, в виде
Ах - а\ах-\- Ах, где число Ах следует выбрать наибольшим (в противном
случае ВФ, полученные методом факторизации, будут 58
ненормируемы). Положим
А 2 == о j о j -f 7. j
и представим Л2 в виде
Л2 =~ -f Я2 (Т,2 ^i)>
Я2 также выбирается максимальным. В общем случае
А л - С/- icy, j -f 't.,: \ у - апап -}-'tij-ri ¦ i 7.,;). (3.44)
Пусть ф -нормированная СФ А^.
Аф = Яф, 1 ф! = 1.
Положим
Ф" = II (о/)Ф.
i-n
(ф1. Фт) = (йтф, ОтФ) = (Ф, 0|0|ф) = Я - V
Так как скалярный квадрат любой функции неотрицателен, то 7. /-!. По
индукции
(фя, Фя) = П (А - Ss= 0. (3.45)
i- 1
Поэтому либо к равно одному из kh либо к>к". Если с ростом п в формуле
(3.45) кп неограниченно возрастает, то спектр А полностью дискретен.
Если- же при любом п кп < Л, то спектр А непрерывен при Я>Л и дискретен
