Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
ф(г + а) = с (а)ф(г),
где с (а) -матрица с числом строк и столбцов, равным g -
А А
кратности вырождения уровня Е. Матрицы с (а) и с (Ь), очевидно,
коммутируют и могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Для
них имеет место уравнение
си (а) сц (Ь) = сц (а + b) (i = 1,2,..., g).
Это уравнение имеет решение вида
с"(о) = Ла.
Таким образом, решения уравнения (2.25) имеют вид
Фа (г) = ик (г) eikr, (2.26)
37
где к - произвольный вещественный вектор, а функция ик (г) -
периодическая с периодом решетки а ы* (г + а) = н* (г).
В случае, рассмотренном в п. 2.11, функция ик должна быть константой -
единственной функцией, периодической с любым а. Утверждение о возможности
представить СФ гамильтониана, удовлетворяющего соотношению (2.24), в виде
(2.26) называется теоремой Блоха.
По аналогии с оператором переноса, рассмотренным в п. 2.11, вектор К = Ш
называется квазиимпульсом. Заметим, что вектор к определен неоднозначно.
К.нему можно добавить любой вектор g такой, что
ga = 2я",
где " - целое число. Множество таких векторов можно
представить в виде
i= 1
где "г, -целые числа, а векторы
[а; X Э/,1
Ь, = 2я -=---г- (t k)
a;[ayxaft] '
суть базисные векторы обратной решетки.
ЗАДАЧИ
1. Доказать тождества
[рх [ххр]]=гйр + хрг - рхр,
[х X р]2 = х2р2 - (хр - ih)2.
2. Показать, что если E - f(x)g(p), то
SP ?=~2^/Г Ц \ f М К (Р> йх йР-
3. Найти вид гейзенберговского оператора х' в координатном представлении
для свободной частицы (U (г) = 0) и для гармонического осциллятора (U
(х)=Ах2).
4. Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование, Г алилея
Pi">Pi + myi>
5. Пусть гамильтониан Н и его СЗ Еп зависят от параметра Я,. Доказать
равенство
дЕп(Ц
ОН (7.)
л
07Г^\п ~дГ~ п/
Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.
Г дав а 3
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
0. В квантовой механике движение частицы во внешнем поле с потенциалом
U (г) описывается уравнением Шредингера - линейным уравнением в частных
производных для функции четырех переменных ? (х, у, z, t). В отличие от
классической механики, число степеней свободы не может быть уменьшено
наложением связей. Однако если потенциал U (г) имеет вид
U (г) --= Ui (лу) -j- U2 (Xi)-\-LI3 (х3),
то уравнение допускает разделение переменных в декартовых координатах.
Рассмотрим его решение для стационарного состояние
-i-t
?(*i, х3, t) = Ф1 (хх) ф" (Хо) фз (х3) е . (3.1)
Подстановка (3.1) в УШ (2.16) дает
р I ЦдЬ
Ъх ^ ^2 ' Ь •
где
Я| = -|^ + П(х;).
Определение спектра Н сведется к отысканию решений и СЗ уравнений
Hib = Eiipi. (3.2)
Тогда
i= 1
В дальнейшем мы будем называть (3.2) одномерным уравнением Шредингера, а
параметр разделения Et - энергией, опуская индексы у Eit Ни г|у.
39
1. Гамильтониан свободной частицы в л'-представлеиии имеет вид
н Лр' h2 02
2т 2т dx f
Одномерное УШ для свободной частицы имеет вид
<3-3>
Так как собственные значения квадрата эрмитова оператора неотрицательны,
то непрерывный энергетический спектр занимает полуось О <.Е < оо. Решения
уравнения
(3.3) имеют вид
ф (х) = А ехр Y2тЕ xj + В exp ^ - Е Y2тЕ xj. (3.4)
Стационарные состояния свободной частицы двукратно вырождены; при
заданном Е существуют два линейно независимых решения:
ф+ (?, х) = р4= exp (~ Y^mEx^j = У (Р> х)
и
х^уЩехр (-7К2^?х] = Ф(- Р. х),
соответствующие: ф+ (Е, х) - положительной и ф_ (Е, х) - - отрицательной
плотностям потока вероятностей. Это связано с тем, что оператор Н для
свободной частицы коммутирует как с оператором импульса р, так и с
оператором инверсии Р, в то время как р и Р не коммутируют.
Поскольку оператор импульса р и гамильтониан свободной частицы Н
коммутируют и имеют общую систему СФ, то эти СФ могут быть нормированы
различным образом. В условии
^ Ф* (^> х) ф (р, х) йх - б (Я - р)
мы можем под Я понимать как импульс р, так и энергию Е. В первом случае
коэффициенты А и В должны удовлетворять условию
40
Во втором случае (нормировка на 6-функцию от энергии) коэффициенты должны
удовлетворять условию
| Л |2 + | ? i2 = - =.
11111 2я h у 2тЕ
2. Потенциал U (х) мы будем называть потенциальной стенкой, если пределы
lim t/(x) = LC, lim U(x) = U+
X-+ - CO X-*~j-CO
конечны и не равны. Будем полагать, что {/_ = 0 (выбор начала отсчета
энергии), t/+>0.
Рассмотрим движение в поле потенциальной стенки. Простейшими для
вычислений являются случаи, когда потенциал U (х) является кусочно-
постоянным. Решение урав- U
нений с разрывными коэффициентами требует дополннтель- п
ных предположений. Мы будем считать, что ф (х) и ф' (х) всюду непрерывны
и ф(х) удовлетворяет условиям нормировки I
(1.14) для дискретного и (1.17) *
для непрерывного спектров. За- Рис. 1.
метим, что решения уравнений с
кусочно-постоянными потенциалами обладают некоторыми специфическими
особенностями по сравнению с гладкими потенциалами U (х) и полученные
результаты нужно переносить на случай гладких потенциалов с
осторожностью. Физически это связано с тем, что в разрывных U (х)
