Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
0.
Г лйва 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При изложении квантовой механики мы будем исходить из следующих основных
положений.
А1. Каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор
L.
А2. Каждому состоянию физической системы сопоставляется нормированная
волновая функция ф.
АЗ. Физическая величина L может принимать только собственные значения
оператора L.
А4. Математическое ожидание I значений величины L в состоянии ф
определяется диагональным матричным элементом:
L - <ф | L | ф).
Аб. Матричные элементы операторов декартовых координат X; и декартовых
компонент обобщенного импульса рк, вычисленные между волновыми функциями
системы fug, удовлетворяют уравнениям Гамильтона классической механики
ОН
а?;
dt
g)>
дН
dp,
где Я -оператор, соответствующий классической функции Гамильтона.
А6. Операторы рг и хк удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Ph *к] = - itibik,
[рь Р*] = 0, [¦хxfc] = О, где ft - постоянная Планка:
ft -1,0546 • 10 27 эрг ¦ сек.
25
1. Сопоставление оператора физической величине L, имеющий классический
аналог, т. е. являющейся функцией классических переменных L (лу, рк),
производится заменой классических переменных на операторы лу, рк. Функции
предполагаются разложимыми в степенные ряды. Если функция L (xt рк) не
содержит в своем разложении членов вида (хк, рк), то оператор L(xу, рк)
будет эрмитовым. Например, кинетической энергии 7' = ^ Pij j 2m
сопоставляется эрмитов оператор:
3
f - V т
1 - jL 2т'
*= I
Если в разложении L (лу, рк) содержатся члены вида хкрк,
Л А.
то замена Pi~>Pi приведет к неэрмнтову опера-
тору Л, так как произведение эрмитовых А и В есть
А А
эрмитов оператор, только если А и В коммутируют. В этом случае величине L
сопоставляют эрмитову часть оператора Л. Так, для величины W (х,-, /у) =
/уху соот-
i
ветствующнй оператор будет иметь вид
з
w = \ 2 ^гА'г + ^Р')- (2-*)
• i = i
Подчеркнем: из правил сопоставления следует, что время в квантовой
механике есть не оператор (наблюдаемая), а параметр.
2. Если волновая функция есть собственная функция оператора L, то
математическое ожидание величины L в этом состоянии равно собственному
значению
I = (п | L | п) = (п | п) =
Аналогично доказывается, что для любого k
й=(кж
т. е. величина L в состоянии с достоверностью принимает значение У.п.
Если ф не есть СФ L, то, расклады-26
вая по полной системе СФ L, получаем Ltyn (tm) ^тгФя" Ф " ^яФя>
я
я
<ср | L | ср> = У] с&а"Я" </п ] п) = 21 "т |2 й*,
/II, tl
т
если спектр L дискретен. Итак,
? = 2 I "т I2 К'
т
В соответствии с А4 это означает, что квадраты модулей коэффициентов ап в
разложении волновой функции ср по ф" определяют вероятность наблюдения
значения Я".
Если спектр L непрерывен, то
ср (т) = $ а (Я) ф (т, X) dЯ,
L^^dr^a* (Я) ф* (г, Я) dЯ § \ш (р) ф (т, р) dp =
= J J а* (X) а (р) р dЯ dp § ф* (г, Я) ф (г, р) dr,
1 - ^ | а (Я) |2 Я dЯ.
Функция |о (Я)|2 есть, согласно А4, плотность вероятности наблюдения
значений Я в непрерывном спектре. Диагональный матричный элемент <ф I ? I
ср) мы будем называть также средним значением величины L в состоянии ср.
3. Дифференцирование по оператору в Аб понимается как предельный
переход:
Для операторов, определенных в п. 2.1, операции дифференцирования и
интегрирования по операторам хг и ph имеют смысл. К любой классической
величине L(xit pk) можно, не изменив ее значения, добавить выражение вида
При сопоставлении величине L оператора такие выражения могут стать и
отличными от нуля. Дифференцируя
27
PiXk - x,tph
(2.2)
(2.2) по xk, получаем
А у Л Л А Л \ АЛ А А
{PiXk - xfcp<) = pj - I Pi = 0. (2.3)
dxk
A A
Поскольку все производные оператора (2.2) по лг, и рА
обращаются в нуль, то он должен быть константой:
PlXk - XkPi = const.
Величина этой константы и определяется в А6.
4. Найдем явный вид операторов ри р2, р3, если аргументами волновых
функций являются декартовы координаты хр
А А А Л ДАЛ АЛЛ АЛЛ АЛЛ
PiX'i - X'iPi = PiXiXi - XiPiXi + XiPiXi - XiXiPi =
= (Pih - XiPi) Xi + Xi (PiXi - XiPi) = - ih ¦ 2x. Легко показать по
индукции, что
ллп лГ!а- -а, а /1-1
PiXi - Xi Pi - - innx .
Поэтому для всех функций, разложимых в степенной ряд,
РгЧ> (*) - Ф (х) Pi = - ih Щ. (2.4)
А
Подействуем оператором рг на ф(хх, х2, ха) = 1:
Prt> = /i(*и Хп, Ха).
Используя (2.4), получаем
pA = -ih^+m
и аналогичные соотношения для осей х2 и х3. Используя коммутационные
соотношения
[рь Р*] = 0,
получаем
Аг Д/l __ d/з df2 _ й/х й/3 _ Q
Й*|> Й*2 ЙАГ2 ЙА-'з ЙХ3 ЙАх
Эти соотношения выполняются, если
г ЙР г ЙР Г ЙР
'1 - й*7' 'г - йх2' '3 - йх*'
где F(xi, а2, а3) - гладкая функция своих аргументов. Итак,
Произвольную функцию F можно исключить с помощью унитарного
преобразования
U+ = ir[F,
<> . ~ тF •* д
Pi = en + h
Итак, найден явный вид операторов р; для функций, аргументами которых
являются декартовы координаты хр
= (2.5)
Компоненты оператора импульса образуют вектор
р = - jTzV.
5. Произвольную волновую функцию ф (х) из L2, зависящую от координаты,
