Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
можно представить в виде
ф(х) = $6(х-?)ф(?)<2?
и рассматривать это выражение как разложение ф (х) по СФ оператора
координаты
х6(х-?) = |6 (х-?).
Следовательно, согласно п. 2.2, величина |ф(х)|2 есть плотность
вероятности координаты в состоянии ф (х). Отсюда ясен и смысл
нормирования волновой функции:
IIФ IP = § IФ (х) I(r) dx - 1.
Система, описываемая такой функцией ф (х), с достоверностью находится в
какой-то области пространства. Оператор импульса р в х-представлении
имеет вид
.. д Р* = ~1Пдх-
Собственные функции импульса определяются из уравнения
, йф ' йхг
¦ih^ = Pi Ф, - (2.6)
I
ф (Х;) = АсП Г'Х'.
Найдем нормировочный коэффициент А. Известные выражения для прямого и
обратного преобразования Фурье
29
имеют вид
/(?)=§? (*) e~ikx dx, g(x) = ^ f (k) eikx dk.
Сравнивая эти выражения с (1.15), (1.16), получаем
А
\f 2nh
Из (1.15) следует, что собственные функции оператора импульса образуют
полную (для функций из L2) систему
1 с -
е dp'
1 с
а (р) = ¦ \ ф (х) е п dx.
v/' V2nh J YW
Эти формулы устанавливают связь между х- и р-пред-ставлениями.
6. Рассмотрим р-представление. Явный вид операторов pi и хк может
быть, разумеется, найден из коммутационных соотношений, как и в п. 2.4.
Но мы воспользуемся общими соотношениями, полученными в п. 1.16. Ядро
оператора х в р-представлении
ipx if)*
л хе п dx =
1 г -Lp*f д '-р*\
= 2Ж § е h (~111 аре ь)dx~
Рассмотрим действие х на функцию а (р) из L2:
$*(р, Р)а(Р)^ = -45 $^(|Д)"(Р)М==
г С С - 1Г ТГ л *D ^ да (р)
~ 2л J dxd^-lh др .
Оператор импульса в р-представлении задается ядром:
1 (> (В?
р(р, Р) = и+Ри=ш\е "
л ^=ре(р-р),
Ра (р) = ра (р). ,
30
х(р, P)-L/V/==~§e
В заключение отметим, что операторы х и р эрмитовы на функциях f (х) из
L2, по не эрмитовы на своих собственных функциях. В самом деле, пусть
р"(р) = р0а(р) и х = х', р =р+. Тогда
(а | рх \ а) - (а \ хр | а) = - itl (а | а),
Ро {(о|х |fi> - (ц|х [")} = - iti (а | а). (2.7)
Левая часть этого выражения равна нулю, правая бесконечна. Этот результат
является следствием одних только коммутационных соотношений.
7. Уравнение движения для матричных элементов А5 допускает различные
интерпретации. В выражении
dt
Ш\е)
мы можем считать зависимость от времени отнесенной полностью к волновым
функциям или полностью к операторам.
а) Рассмотрим описание с помощью операторов, зависящих от времени.
Из Аб следует:
- дН - дН
Pi ------
dxi dpi
Используя формулы (2.4)
Pj - flh - ih If. ,
получаем уравнение движения для компоненты оператора импульса
Pi - {~[Pi,H] (2.8)
и аналогичное уравнение для оператора координаты
(2.9)
Такой способ описания называется представлением Гай-зенбереа, а уравнения
(2.8, 2.9) - уравнениями Гайзенберга.
б) Рассмотрим описание движения с помощью зависящих от времени волновых
функций. Используя формулу (2.8)*, представим уравнение для матричных
элементов в виде
jd
dt
31
Считая операторы р{ и Я не зависящими от времени и учитывая их
эрмитовость, получим
(S' Pis) + fa' af) = " Tf ^ Л^)+
(§, P/g) + (p.f. gf) == - )г (Р//. tfg)+ J [Hf, Ptg),
(I + т^. Ptf) + (wf. 1+ й^) = °.
Последнее соотношение будет выполняться при произвольных в начальный
момент времени волновых функциях f (х) и g(x), если они удовлетворяют
уравнению
= (2.10)
Это уравнение называется уравнением Шредингера, а способ описания системы
с помощью операторов, не зависящих от времени, - представлением
Шредингера. В дальнейшем мы будем использовать также сокращения ВФ вместо
"волновая функция" и УШ вместо "уравнение Шредингера".
В обоих представлениях времени эволюция системы характеризуется
гамильтонианом Н-оператором, полученным из функции Гамильтона
классической механики согласно правилам, изложенным в п. 2.1.
Так, гамильтониан частицы во внешнем поле с потенциалом U (xlt х2, xs)
есть
H = ^ + U(xltx2, х3).
В координатном представлении Я имеет вид
Я = -^Д + Я(х1, *2, *з), (2.11)
где А-оператор Лапласа.
8. Уравнения А5 справедливы как в представлении Гайзеиберга, так и в
представлении Шредингера. Поэтому математические ожидания значений,
наблюдаемых в этих представлениях, совпадают. Должно существовать унитар'
ное преобразование, переводящее одно представление в другое. Такое
преобразование осуществляется оператором
Обозначим волновую функцию и оператор в представлении Гайзенберга /,
L, а в представлении Шредингера - ф, Л:
= (2.13)
A = S+LS. (2.14)
Так как f по определению от времени не зависит, дифференцируя (2.13),
получим
что совпадает с уравнением Шредингера. Дифференцируя по времени равенство
L=sAs+,
получим
§ = § As++ЗА Ф = в ЙАЛ А* -1АЛ5*Й,
§ = -| [й, Д (2.15)
что совпадает с уравнениями Гайзенберга. Уравнение (2.15)
можно записать в виде
а]$+.
Величина L называется интегралом движения, если
^<ф|1|ф> = 0.
Интеграл движения удовлетворяет двум эквивалентным условиям:
[я, Ц = [н, А]=о.
9. Состояния, описываемые собственными функциями гамильтониана Я,
называются стационарными состояниями, а множество собственных значений Я
