Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Решения выбраны так, что падающая частица движется слева:
к - гпЕ, <7 = * У 2т (Е - U0).
Коэффициент прохождения через барьер
D = IСI2.
U
Во
Из условий непрерывности ф и ф' в точке х = 0 следует
система уравнений для А, Вх и В2:
1 + А = Вх-\- В2, k(l -A) = q{Bl-B2).
Из условий непрерывности в точке х - а аналогично получаем для Ви В.г и
С:
Т Bxeiqa + В2е~iqa = Сёка,
q (Bxeiqa - B2e~iqa) - kCeika.
D a
Рис. 4.
Решая эти уравнения относительно С, находим коэффициент прохождения
D{E) =
Ak-q"
(ik2 - q2)2 sin2 qa + Ak2q2
(к2 - q2) sin qa I2!-1
2 kq
¦r-
(3.9)
Выражение в квадратных скобках неотрицательно и обращается в нуль при
выполнении условия
sin<7<2 = 0, qa = nn, il/2 m(E-U0) = n~.
46
Таким образом, при энергиях
Е^и°+"-'Шг
коэффициент прохождения обращается в единицу: барьер прозрачен. Обращение
коэффициента отражения в нуль при бесконечном дискретном наборе значений
Еп есть специфическое свойство прямоугольного барьера. Если Е < U0, то q
- чисто мнимое и коэффициент прохождения
' М.+Ретг v=lm,>0.
монотонно убывает с ростом ширины барьера, не обращаясь в нуль при
конечных а, т. е. частица проходит за барьер и при энергии меньшей, чем
его высота. Зависимость D от отношения E/U0 - e показана на рис. 5.
Рис. 5. Рис. 6.
6. Рассмотрим'' движение частицы в поле гладкого потенциального
барьера (рис. 6):
U (а) = Uо clr2 (х/а).
Для определения коэффициента прохождения D(e) надо найти решение УШ для
стационарных состояний
^ [е - U0 ch-2 ~j ф = 0, (3.10)
асимптотиками которого являются ВФ свободного движения АёЬх при г-э-со и
Bieikx-(-B2e~ikx при х->- -оо. Подстановками
xi х " У- 2тЕ .,
У = th -, р= fi а = ika, -
47
уравнение (ЗЛО) превращается в
^[<1-л^1 + И5+1)-т^]ч,-°- (3">
Асимптотики интересующего нас решения: у-> +1: ф(//)я"а(1-^)Р/2,
,У -> - 1: Ф (У) ** Ьх (1 + у)№ + Ы (1 + у)-Р/2. Подстановкой
Ф(#) = (1-?3)Р/2И0)
уравнение (ЗЛ1) сводится к гипергеометрическому виду:
-Рф + 1)у w' - ф - s) ф +s+ 1) w = 0. Решение этого уравнения, конечное
при у= 1, есть
w (у) = F ^ р s, |J -f- s -ф 1, - Р + 1" -2^") • Волновая функция
Ф (У) =
ika
==.(1- у)2 2 F(-ika - s, -ifoz-fs-fl,-ika-pi; l~y j
имеет требуемые асимптотики. При х-> - оо (у-->-1)
гЬ (х) ~ с-'кхГ('ка)Г11~,/га) 4-У(Х)~е Г(_5)Г(1+8) +
] pihх Г ( ika) Г (1 ika)
т Г(- ifoz-s)r(- ito + s+1)-
Коэффициенты при экспонентах в формуле (3.12) определяют значения
коэффициента прохождения:
п..
cos2 " I 1 - 4?
Р(Д)-П+- hnsr......
D (Е) - 11
.1,
сЬ2-|К1+4Г
sh2 я ka
-1
(Г">4),
(3.13)
(|2<4).
Й2
Здесь I2 - 2m(J flS. Коэффициент прохождения D есть монотонно
возрастающая функция e = E/U0 (рис. 7). При Е-> со коэффициент отражения
убывает экспоненциально: R (Е) ~ е-2п1т.
48
7. Выше мы рассматривали решения ВФ в полях с потенциалами, принимавшими
минимальное значение U = О на ±оо. Задача отыскания спектра Н не вызывала
затруднений: при любом Е> О УШ имело решение вида
(3.4). При E>U+ мы искали решения с граничными условиями вида
я|; (х+ со) ^Bei9x, я)? (х-> - оо) + Aerikx. (3.14)
Состояния частицы с определенной энергией в таком случае являются
двукратно вырожденными. Это вырождение связано не с наличием
некоммутирующих интегралов движения, а с вырождением граничных условий
(3.14).
Основные выводы, следующие из рассмотрения ВФ
непрерывного спектра, таковы. В поле потенциального
барьера коэффициент прохождения отличен от нуля, и при Я
Е < шах U (х) существует от- /
личный от нуля поток вероятности и в области за барьером.
Это явление мы будем называть подбарьерным ¦ прохождением или
туннелированием через барьер.
' В поле потенциального барьера пли стенки коэффициент отражения отличен
от нуля и при Е > max U (х). Существует отличный от нуля поток
вероятности в направлении, противоположном направлению движения прошедшей
частицы. Это явление мы будем называть надбарьерным отражением.
8. Мы видели, что если пределы U , U+ конечны, то оператор Гамильтона
обладает непрерывным спектром при ?> 0. Таким образом, дискретный спектр
может существовать, либо если
min U (х) с min (?/", U+), (3.15)
либо если
lim t/(x) = оо. (3.16)
х-+ :*_со
Физически наиболее интересен первый случай: все осуществимые внешние поля
обращаются в нуль на бесконеч-
49
ности. Мы будем рассматривать также потенциалы, удовлетворяющие второму
условию. Следует помнить, что применение таких потенциалов есть
идеализация, допустимая лишь в ограниченной области пространства и при не
слишком больших х и Е. Поля с потенциалами, удовлетворяющими (3.15) или
(3.16), мы будем называть потенциальными ямами.
Отыскание дискретного спектра сводится к решению УШ с граничным условием
Отсюда следует, что при х->оэ яр(х)->0, г]:' (х) -> 0.
а) Если потенциал U (х) ограничен снизу: lJ(x)>U0, то дискретный
спектр ограничен снизу: Е> U0. Допустим противное: яр(х) есть решение УШ,
принадлежащее L2 при Е < U0] тогда из УШ
следует, что знак г])" всюду совпадает со знаком г]). Пусть яр (-оо) =
+0. Тогда яр" и яр' будут всюду положительны: яр(х) будет монотонно
