Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вектор |ф>. Чтобы охватить все четырехмерные векторы к с заданной
"длиной" k, необходим тройной интеграл; естественно, что в выборе
переменных интегрирования имеется некоторая свобода. В качестве этих
переменных удобно выбрать пространственные координаты вектора к. Из
соотношения &? = -|k|3-f?j? и из того, что вектор к положительный
времениподобный, видно, что четырехмерный вектор к однозначно
определяется трехмерным вектором к, областью изменения которого является
все трехмерное пространство. Множитель kjx включен в определение (15.78)
по соображениям удобства; как мы покажем ниже, элемент объема kj1 dk
лоренц-инвариантен. Можно было бы определить вектор (15.78) без множителя
kt1, включив последний в определение коэффициентов фтДк).
Следуя формуле (15.20), определим скалярное произведение как
<ф|ф> = 2 [ ФтДк) фтДк) 'dk (15.79)
ms *
114
Глава 15
с тем же элементом объема, что и выше. Доказательство унитарности
представления ?{k's), даваемого формулой
(15.59), проводится так же, как и соответствующее доказательство в § 1,
п. Е, и мы не приводим его. В том доказательстве мы воспользовались тем,
что при k' = RkMepv интегрирования dQк можно было заменить величиной
dQk>. Теперь возникает аналогичная проблема: перейти от интегрирования по
dk к интегрированию по dk', где к' - про-
А . 44
странственная часть четырех.мерного вектора к =|_к. Для этого необходимо
вычислить якобиан д (kxk'ykz)ld (kxkykz). Но так как на основании формулы
(15.27) мы можем написать L = QR, а якобиан вращения равен единице, нам
необходимо рассмотреть лишь буст в каком-либо направлении. Если мы
выберем направление оси z, то х-и у-компоненты останутся неизменными, так
что искомый якобиан равен просто dkz/dkz. Из выражения (15.25) для
преобразования буста в направлении оси z получаем
? = fo-p*t)/(i-pr*.
k't = {kt- PW-РТ'Ч
(15.80)
Таким образом, ^-=(^1 - p-|^-j/(l-Р2)1/=; но, поскольку
?2 = _|_ ?2 _|_ мы имеем dkJdkz - kjk*. В резуль-
тате с учетом формулы (15.80) получаем dkz/dkz = = (I-$kz/kt),/(l-Р2)1'2
= kilk't. Это значит, что элемент объема dk' можно заменить величиной
kjxk't dk, т. е. &ДМк' можно заменить величиной kj1dk. Такое же скалярное
произведение можно использовать и для представлений р;о, ,п) с той лишь
разницей, что в этом случае суммирование по ms отсутствует и индекс ms
заменяется индексом т.
Как мы видели в § 4, п. А, вектор к характеризует состояние с
определенным импульсом и энергией. Следовательно, если числа фтДк)
нормированы так, что <ф[ф>=1, то мы можем интерпретировать величину i Tmi
(k) |2 как функцию плотности вероятности, зависящую от к и ms при
фиксированном значении величины k. Иногда (к) называют волновой функцией
в импульсном пространстве. Следует иметь в виду, что в нерелятивистских
задачах волновые функции в импульсном про-
Пространство и время
115
странстве обычно нормируют так, что они не имеют множителя kf1, который
входит в формулу (15.79). Это простая условность.
Отметим, ч^о для векторов | ksms> из вышеприведенного определения
скалярного произведения следует соотношение
<k'sm; ] kstns-> = kt8msm'& (k-k'), (15.81)
где б (k-к')--трехмерная 6-функция. Функция фтДк), определяющая сам
базисный вектор, т. е. |ij)> = jkms>, дается [формула (15.78)] выражением
Wk)=^-ms6(k-k)?t. (15>82)
§ 5. ГРУППА ПУАНКАРЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИНВЕРСИЕЙ ff>s
Добавление к группе Пуанкаре пространственной инверсии I приводит лишь к
незначительным изменениям структуры представлений. 1Аы займемся изучением
такого расширения группы 3s, пользуясь при этом теми же
методами, что и в § 3. Ранее мы уже упоминали о том, что
инверсия I коммутирует с вращениями, и вывели закон умножения для
инверсии и бустов:
IQ (b) = Q (- b) I. (15.83)
Из определений (15.39) и (15.47) инверсии I и трансляции Р(е)
непосредственно следует, что
1Р(е) = Р(1в)1. (15.84)
Неприводимые представления группы 3*s легко построить, исходя из
неприводимых представлений группы 5*. Мы покажем, что всякому
представлению P(Si s) группы 9* можно поставить в соответствие два
представления P<ft' s) ± группы Напомним, что пространство представления
строится при помощи соотношения (15.57) из базисного вектора
специального вида | k0sms>, где к0 == (О, О, О, 1).
Поскольку инверсия I оставляет вектор кс на месте и
коммутирует с преобразованиями подгруппы ?d3, мы можем приписать нашему
базисному вектору в дополнение к параметрам k0, s, ms также и
определенную четность. Таким
116
Глава 15
образом, мы можем использовать для базисного вектора обозначение | k0sms
±>, причем
Т (I) | k0sms ±> = ±| k0sms ±>. (15.85)
Здесь в обеих частях равенства выбираются либо верхние, либо нижние
знаки. Соответственно каждой из этих двух возможностей мы можем построить
пространство неприводимого представления группы 3ss, написав
[ksm^ ±> = Т (Q[b(k)]) |k0s/n5 ±>, (15.86)
подобно тому как на основе соотношения (15.57) было построено
пространство неприводимого представления группы 3>. Матрица представления
