Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
через р(к"."). Как и в случае евклидовой группы (§ 1, п. В), можно
показать, что представления, построенные при помощи любого положительного
времениподобного век-
Пространство и время
105
тора к с той же "длиной", что и у вектора к0, эквивалентны представлению
P(k°-s). Поэтому неэквивалентные представления обозначаются просто через
Р(*'s), где k - "длина" четырехмерных векторов к, определяющих базисные
векторы | ksmsy. Доказательство неприводимости представлений Р(А's)
проводится так же, как и в § 1, п. В в случае группы ?3. Поскольку
имеется бесконечное множество векторов к заданной длины, полученные нами
представления бесконечномерны.
Области 4 и 5, изотропные к (представления Р<0> *>)
Шаг 3. Для удобства мы опять выберем простой вектор к0, на этот раз
лежащий в области положительных изотропных векторов, а именно к0= (0, 0,
1, 1). (Область отрицательных векторов может быть рассмотрена точно так
же.) Для построения неприводимых представлений мы будем придерживаться
намеченной выше общей схемы. Но теперь подгруппа преобразований,
оставляющих на месте вектор к0, не есть группа &t3. Наша первая задача-
выяснить, что это за группа. Для этого рассмотрим инфи-нитезимальные
операторы. Если потребовать инвариантности вектора к0, то Ак0 = 0
[формула (15.30)]. Подставляя в это соотношение вектор ко = (0, 0, 1, 1)
и матрицы
(15.31), получаем ах = - b , а1/ = Ьх, Ь2 = 0. Вкачестве трех независимых
инфинитезимальных операторов, удовлетворяющих этим условиям, можно взять
операторы
Xz,Xx-Yy,Xg + \x. (15.62)
Из формулы (15.32) следует, что перестановочные соотношения для этих
операторов имеют вид
[X2,Xx-\v] = Xu + \x,
[X"XB + Yj = -Xje + Y"f (15.63)
[Хх-Уу, Xy + Yj = 0.
Оператор Хг порождает подгруппу вращений вокруг оси z. Мы
покажем теперь, что перестановочные соотношения (15.63)
совпадают с перестановочными соотноше-
ниями для евклидовой группы в которую входят
106
Глава 15
вращения и трансляции в плоскости. Из формулы (15.15), учитывая, что
трансляции коммутируют между собой, мы получаем следующие перестановочные
соотношения для инфинитезимальных операторов ?х, Ру и Xz группы <§2.
[Х2, Px] = Py, [Х2, PJ = -P" [Рх, Pj = 0. (15.64)
Если мы установим соответствие Х2 -^Х2, Хл.-Y ->-P.v и X. + Y, - Р", то
эти формулы совпадут с формулами (15.63). Таким образом, если
рассматривать инфинитезимальные операторы, то искомая подгруппа
инвариантности вектора к0 изоморфна группе $2 и, следовательно, имеет те
же, что и у группы неприводимые представления. Физически эти две группы
совершенно различны, хотя и имеют общий инфинАтезимальный оператор Х2.
В § 1, п. Г было показано, что неприводимые представления группы бывают
двух типов: ЕПМ) и Е(0' т). Мы не будем здесь анализировать следствия,
проистекающие из выбора представления ЕСк1), поскольку соответствующие
представления группы Пуанкаре пока не находят физических приложений (§ 8,
п. В). Эти представления пригодились бы при описании частиц с
непрерывным*) спином, но такие частицы еще не наблюдались. Поэтому мы
сразу перейдем к представлениям Е(0>т). То обстоятельство, что вектор к0
инвариантен относительно группы (q2, означает, что множество базисных
векторов, преобразующихся при трансляциях по представлению Т(к">, тоже
инвариантно по отношению к действию этой группы. Следовательно, такие
базисные векторы можно характеризовать ^вектором к0 и представлением Е(0>
группы $2. Соответственно этому мы вводим обозначение | к0т>. Из
определения Е(0'т) (§ 1, п. Г) следует, что эти базисные векторы обладают
свойствами
Т(Ма))|к 0/л> = exp (- ima) | к"т>,
(Хя -Уу) | кйту = 0, (15.65)
(XV + YJ| k0m> = 0,
1) Точнее, бесконечномерным. - Прим. ред.
Пространство и время
107
а также свойством (15.49). В двух последних равенствах
(15.65) выражается "трансляционная инвариантность" векторов пространства
представления Е(0'т) относительно "трансляций" группы <§г.
Для построения представления нам понадобятся еще два сзойства группы
Лоренца. Первое - это то, что существует единственное преобразование
Лоренца вида RXyQz, переводящее вектор к0 в любой наперед заданный
положительный изотропный вектор к. Преобразование Qz меняет величины
пространственных и временной компонент вектора к", оставляя неизменным
его направление в пространстве. Вращение же RX!/ относительно оси,
лежащей в плоскости ху, изменяет это направление. Нетрудно видеть, что
при данном к преобразования RXf/ и определяются однозначно. Второе нужное
нам свойство состоит в том, что произвольное преобразование Лоренца можно
представить в виде
L = RxyQzl, (15.66)
где L принадлежит подгруппе <§2, оставляющей на месте вектор к0 = (0, 0,
1, 1). Чтобы доказать это равенство, аналогичное разложению (15.27),
положим k = Lk0 и определим преобразование RXI/QZ с помощью условия к = =
RxyQzk0. Тогда (RX;/Qz)_lLk0 = (RxyQz)_1k =к0, откуда ясно, что
произведение (R QZ)-1L оставляет вектор к0 на месте и, следовательно,
