Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 46

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 138 >> Следующая

движения выглядит совершенно естественно в классической механике,
соответствующая операция должна быть возможной и в квантовой механике.
Такая операция должна изменять на обратное направление движения, не меняя
знака энергии. Ниже мы построим такую операцию; она называется
"обращением времени" и обозначается символом Г. Оказывается, что Г-весьма
необычный, нелинейный оператор. Поэтому мы сейчас сделаем небольшое
отступление, чтобы объяснить смысл
130
Глава 15
и значение таких операторов. (Коротко об операторе обращения времени
упоминалось в гл. 5, § 10 и в гл. 9, §8.)
Во всех примерах симметрии в квантовой механике, с которыми мы
встречались в этой книге, соответствующие преобразования волновых функций
были линейными и унитарными. Рассмотрев подробнее причины такого выбора,
мы убедимся, что он не является единственно возможным. Пусть |ф> и | ф>-
два вектора состояния системы. Один из постулатов квантовой механики
гласит, что если система находится в состоянии |ф>, то вероятность
обнаружить ее при измерении в состоянии | ср> равна квадрату модуля
скалярного произведения векторов состояния: |<ф|ф>|2. Если обозначить
через |ф'> = Т|ф> и |ф'> = = Т | ф> состояния, полученные путем
преобразования симметрии Т, то, поскольку результат измерения должен
остаться неизменным, мы имеем
|<Тф|Тф>|2 = |<ф|ф>|2. (15.102)
Это равенство должно выполняться, если преобразованная в результате
операции Т система имеет те же, что и ранее, физические свойства. Ясно,
что равенство (15.102) выполняется, если оператор Т унитарен, т. е.
<Тф|Тф>= = <ф | Ф> для всех векторов | ф> и | ф>. Но благодаря тому, что
в (15.102) входит квадрат Гмодуля скалярного произведения, имеется и
другая возможность. Исходя из соотношения (15.102), можно показать, что
Я: точностью до тривиальных фазовых множителей оператор Т может быть либо
линейным и унитарным, как мы и предполагали до сих пор, т. е.
<Тф]Тф>=<ф|ф>, /1C 1ПОЧ
Т(а|ф> + Ь|ф" = аТ|ф> + ЬТ|ф>, 1
либо антилинейным и антиунитарным, т. е. удовлетворять условиям
<Тф | Тф> = <ф | Ф> = <Ф | ф>*, Л 5 104^
Т(а|ф> + Ь|ф" = а*Т|ф> + Ь*Т|ф>. ' ' '
В случае непрерывных групп мы естественным образом приходим к выбору
(15.103), поскольку считаем, что единичный оператор соответствует единице
группы, а единичный оператор линеен и унитарен. Рассматривая операцию
отражения времени в §^6, мы тоже принимали
Пространство и время
131
обычное условие (15.103). Выбрав же теперь вторую возможность,
соответствующую условиям (15.104), мы получим преобразование обращения
времени, не затрагивающее знака энергии.
Рассмотрим представления группы 3>t, образованной добавлением к группе S*
операции отражения времени 1(, в которых элементу М* ставится в
соответствие антили-нейный оператор Г. Таким образом, сохраняя уравнение
(15.92) для группового умножения и заменяя оператор Т (I*) антилинейным
оператором Г, получаем вместо формулы (15.93) следующую цепочку равенств:
Т (е) Г | к> - ГТ (lte) | к> =s Г exp (tklt8)|k> =
= exp (- ik • lfe) Г | к> ==" exp (- iltk • е) Г j к> =*
= ехр(Лк-е)Г|к>. (15.105)
Мы воспользовались здесь вторым равенством (15.104) и элементарным
соотношением 1*к*=- 1к, где I-пространственная инверсия. Итак, при
трансляциях вектор Г)к> преобразуется по представлению Т<1к> и трудности,
связанные с отрицательными энергиями, не возникают. Оператор Г обладает
также и желаемым свойством изменять направление движения на
противоположное. Хотя обращение времени и похоже на пространственную
инверсию, мы не можем ввести физически сколько-нибудь осмысленное понятие
"четности по отношению к обращению времени". Это непосредственно связано
с антилинейной природой оператора Г. Действительно, пусть |ф> -
собственный вектор оператора Г, соответствующий собственному значению А,
так что Г | ф> = А | ф>. Из антилинейности оператора Г следует, что для
любой фазы г) справедливы соотношения
Г exp (t'r)) | ф> = exp (- trj) Г (ф> = exp (- trj) А | ф> =
= [exp (-2tr]) A,] exp (irj) | ф>.
Таким образом, вектор ехр(г'г))|ф>, который должен быть физически
неотличимым от вектора |ф>, соответствует собственному значению ехр (-2щ)
к оператора Г, и, следовательно, величина А может иметь физический смысл
лишь с точностью до фазы. В ^частности, несуществен знак величины А. Все
сказанное в равной мере приме-
132
tлава 1
нимо как к случаю нулевой, так и к случаю ненулевой массы. Однако для
того, чтобы дальше изучать представления группы 93t, нам необходимо
рассмотреть два этих случая по отдельности. Мы обнаружим, что в обоих
случаях добавление к группе 9* нового элемента lt не приводит к
необходимости увеличения размерности пространства неприводимого
представления. Чтобы идти далее, нам необходим закон умножения для
преобразований Лоренца и отражения времени
ltL(a, b) = L(a, -b) if, (15.106)
который следует из матричной записи соответствующих преобразований в
четырехмерном пространстве. Как обычно, мы предполагаем, что операторы
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed