Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 39

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 138 >> Следующая

оператора W. Для определения других компонент заметим, что оператор W
должен быть четырехмерным вектором. Поэтому перестановочные соотношения
этого оператора с инфинитезимальными операторами X и Y должны иметь такой
же вид, как и для оператора Р. Таким образом, полагая Wt = P-X, на
основании формулы (15.69) (задача 15.8) получаем
We = -[Wf, Y?] = (PXY)? + P(X,. (15.72)
Явный вид оператора W можно также найти, используя коэффициенты
векторного сложения группы 5?3; для этого нужно выделить из произведения
LWi' 1/!,0L(1'O) представление '/">. На первый взгляд, оператор WP
является третьим оператором Казимира, но из определения (15.72) следует,
что он тождественно равен нулю:
W-P = 0. (15.73)
Пространство и время
111
Поскольку операторы Казимира в произвольном неприводимом представлении
кратны единичному оператору, для определения значения оператора W-W в
каждом из неприводимых представлений группы Пуанкаре достаточно
рассмотреть произвольный базисный вектор. Так, в случае представления
P(fti s) мы можем выбрать базисный вектор |k0sm^>, соответствующий
четырехмерному вектору к" = (0, 0, 0, k). Тогда | k0sm^> = 0 при q- = х,
у, z, a Pf|k0sm5> = -ik\kosmsy = 0. Следовательно, в силу равенства
(15.72) имеем
W#|k0smJ> = 0,
W41 к0smsy= - ikXq |k0sm5>, так что W • W J k0s/?^> = k2X* | k0sms> =
= - k2s (s-|-1) | к05т^>. (15.74)
Мы воспользовались здесь тем обстоятельством, что оператор X2 является
оператором Казимира подгруппы ZA3, неприводимое представление которой
определено значением параметра s. Величина s (s-f- 1) оператора Казимира
для группы 543 была получена в гл. 7, § 4, а знак минус появился
благодаря множителю i, введенному там же, когда эрмитовы операторы Jq
определялись как iq = iXq. Формула (15.74) справедлива для всех векторов
пространства представления
В случае неприводимых представлений Р(0' т) оба оператора Казимира РР и W
¦ W равны нулю. Действительно, рассмотрим базисный вектор с к0 = (0, 0,
1, 1). Тогда с учетом формулы (15.65) получим
Wx | k0m> = - i (Xx-Yy) | к,m> = О,
| k0m> = i (Xy-j~Yx) | k0m>==0,
Wz| k0m>= - iXzl k"m> = - m\ k0m>,
Wt | k0m> =s - iXz j k0m> = - mj k0m>,
и, следовательно, W-W|k0m> = 0.
Так как оба оператора Казимира в этом случае равны нулю, их нельзя
использовать для того, чтобы различать представления Р<0'т) с разными
значениями т. Однако
112
Глава 15
в некотором смысле оказывается возможным использовать для этого отношение
операторов W и Р. Из формулы
(15.75) следует, что, так как P|k0m> = - t'k0|k0m>, для вектора | k0m>
выполняется равенство W | к0/п> = = - imp j k0m>. Другими словами, можно
написать
(W-J-imP)|k0m> = 0. (15.76)
Поскольку же все базисные векторы пространства неприводимого
представления получаются из вектора |k0m> путем преобразования Лоренца
(15.67), а операторы W и Р, будучи четырехмерными векторами, одинаково
преобразуются под действием группы Лоренца, равенство
(15.76) справедливо не только для вектора специального вида | к/пу, но и
для всех векторов пространства представления (задача 15.9). Таким
образом, чтобы охарактеризовать представление Р(0> т), можно наряду с
условием р.р = 0 использовать соотношение (15.76). Это соотношение
говорит о том, что четырехмерные векторные операторы W и Р имеют одно и
то же "направление", а коэффициент пропорциональности между ними, равный
(- im), зависит от представления. Заметим, что мы получили равенство
(15.76) для положительного изотропного вектора к0 = (0, 0, 1, 1) и,
следовательно, оно применимо лишь в случае представлений, полученных
исходя из таких векторов. Для представлений же, отвечающих отрицательным
изотропным векторам, мы должны взять четырехмерный вектор (0, 0, 1, -1)
вместо (0, 0, 1, 1). В результате равенство (15.76) заменится равенством
(W - imP) I km> = 0, (15.77)
справедливым для всех отрицательных изотропных векторов к.
В обнаруженной нами пропорциональности между векторами W и Р нет ничего
неожиданного. Если рассматривать W и Р как обычные четырехмерные векторы,
а не как операторы, то из условий W-W = P-P = 0hW-P = 0 следует, что (W-
аР) • (W-аР) = О при любых а. Пола-
Пространство и время
113
гая a = Wt/Pt, получаем (W-ocP)(W-aP) = 0, откуда следует, что W = aP и,
стало быть, W = aP при этом значении величины а.
Г. Определение скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов, принадлежащих пространству
неприводимого представления группы Пуанкаре, можно определить, обобщив
метод, которым мы пользовались (§ 1, п. Е) в случае группы ?3. Здесь мы
снова сталкиваемся с проблемой наличия континуума базисных векторов, но
имеются два небольших усложнения по сравнению со случаем представлений
группы По аналогии с формулой (15.19) запишем произвольный вектор
пространства представления Plfti s) в виде
\$> = 2 [ ФшДк)| ksm^kf'dk. (15.78)
ms J
Интегрирование и суммирование охватывают все множество базисных векторов
/ ksmf> пространства представления pt*" *>f а фтДк)-числа, определяющие
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed