Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
для собственных элементов Т (е, L) группы 3*s дается, как и ранее,
формулой
(15,59). Оператор же инверсии определяется следующим образом:
Т(1) | ksms ±> = Т (I) Т (Q [Ь (к)]) | к0з/п5 +> =
= Т (Q [- b (к)]) Т (I) | кQsms +>= в силу.(15.83>. = ± Т (Q [- b (к)]) j
k0sms +> = в силу (15.85). = + | Iks/n* ±>.
(15.87)
Последнее выражение получено с учетом того, что если b-параметр буста,
переводящего вектор к0 в к, то буст с параметром -b переводит вектор к0 в
Iк [формула
(15.26)]. Существенной особенностью формулы (15.87) является то, что
оператор Т(I), действуя на произвольный вектор вида jksm,,±>, переводит
его в другой вектор вида (15.86). Заметим, что оператор Т (I) не
диагоналей. Это и неудивительно, так как он меняет пространственное
направление четырехмерного вектора к; как мы увидим в § 7, знак "±"
относится к внутренней четности системы.
Рассуждения, проведенные выше, неверны для представлений типа р ">>'">,
поскольку в этом случае вектор специального вида k0 = (0, 0, 1, 1) не
инвариантен относительно инверсий. Как мы увидим, оператор инверсии Т (I)
преобразует базисный вектор пространства представ-
Пространство и время
117
ления Р10' т) в базисный вектор пространства представле-нения Р(0' ~т).
Из этого следует, что пространство представления Р(0'т) не может быть
инвариантным относительно действия группы S*s. Но поскольку Т (I) Т (I) =
1, прямая сумма пространств представлений Р((Ь т) и Р(0' ~т> инвариантна
относительно группы 93s и задает ее представление, которое должно быть
неприводимым. Мы обозначим это представление через р">> imi>, Чтобы
доказать сказанное выше, нам понадобятся соотношения
Р"' = -Л. Ptl = IPt, (15.88)
следующие непосредственно из равенства (15.84). Эти соотношения приводят
к равенствам
w | = |w WJ = - IW*
I " и (15.89)
[W W, 1] = [Р-Р, I] = 0. v
Если вектор | к ту принадлежит пространству представления Р(0' т) группы
53, то для него справедлива формула
(15.76) и, как нетрудно убедиться, вектор T(l)|km> удовлетворяет
условиям
W-WT (l)Jkm> = 0,
Р -РТ (I) | km> = 0,
(W? - itriPg) Т (I) | k/n> = Т (I) Wq + imPq) |km>=*0,
(Wt-imPt)T (l)| km> =-Tj(l) (Wt-{- imPt) | km> = 0,
так что
(W - imP)T(l)|km> = 0. (15.90)
Далее, P (s) T (I) J kmy - T (I) P (Is) | km> =
- exp (tk • Is) T (I) | km> =
= exp (ilk-s)T (l)|km>,
а это означает, что вектор T(l)|km> преобразуется при трансляциях по
представлению Т<1к>. Поскольку по определению к является положительным
изотропным вектором, это же верно и для вектора Ik. Сравнивая формулы
(15.90) и (15.76), мы заключаем, что вектор Т (I) | к ту принадлежит
пространству представления
118
Глава 15
р<о> -т) ГруППЫ д"ш Таким образом, при тфО векторы 1клг> и Т (I) | к ту
линейио-независимы. Следовательно, мы можем написать Т (I) j k0m> = |
l?0-ту, и множество векторов | ктУ вместе с j к, -ту, полученных при
помощи формулы (15.67) для произвольных положительных изотропных векторов
к, образует базис пространства неприводимого представления Р(0'|ет|)
расширенной группы Можно показать, что и в общем случае
T(l)|km> = Jlk-ту. (15.91)
Следовательно, Т (I) | k-m> = |lkm>. Формула (15.91), а также формула
(15.68) для определения действия элемента группы Т(s, L) в представлениях
р(0'ет> и Р(0' ~т) задают представление Р(0> *s> группы 9*s.
Случай т = 0 является исключением, так как оба вектора Т (I) j km> и |k-
ту преобразуются теперь по представлению Р10'0) группы Поэтому при т = 0,
так же как и для представлений типа Р<ь s), возникают два представления
P!Ci 0)± группы S*s в зависимости от знака в соотношении T(l) |k00> = ±
11к00>. Мы не будем разбирать этот случай подробно.
§ 6. ГРУППА ПУАНКАРЕ С ОТРАЖЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
Рассмотрев вопросы, связанные с пространственной инверсией, перейдем
теперь к отражению времени. Операция отоажения времени определяется
соотношением |fe = e' = (,t, у, г, -ct). Как и в § 5, присоединение этой
операции к группе Пуанкаре порождает расширенную группу !Pt. Из
определений трансляций и отражения времени следует, что
P(8)lt = l(P (1(8). (15.92)
Таким образом, если |к>-базисный вектор, преобразующийся по представлению
Т<*> подгруппы трансляций, то
Т (е) Т (lt) j k> == Т (lt) Т (l,e) I k> =
= ехр (iklts)T (lt)[k> = =aexp(il#k-e)T(l<)|k>. (15.93)
Пространство и время
119
Последнее равенство означает, что вектор, Т (If) j к> преобразуется при
трансляция по представлению Т(|?к\ т. е. временная компонента вектора к
меняет знак. В § 4, п. А мы видели, что с точки зрения физики четвертая
компонента kt соответствует энергии: E = %ckt. Следовательно, отражение
времени меняет местами состояния с положительной и отрицательной
энергией. По этой причине мы не будем заниматься представлениями,
построенными на основе соотношения (15.93).
Тем не менее мы еще вернемся к группе 3*t в § 7, п. Г, когда речь пойдет
об операции обращения времени, которая, как показывает эксперимент,
является почти универсальной операцией симметрии. Операция обращения
