Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Определив четырехмерный вектор k - (kx, k kg, kt), мы можем обозначить
неприводимое представление четырехмерной группы трансляций через Т<к>.
Если через | к> обозначен базисный вектор пространства этого
представления, то оно задается формулой
Т (в) | к> = ехр (гк-в) | к>. (15.49)
В случае трехмерных трансляций эта формула согласуется с результатами §
1, п. А и является определением вектора к.
Сравнив два последних равенства, мы видим, что в представлении T<w
инфинитезималъные операторы принимают значения Р===-tk. Если мы
рассмотрим действие инфинитезимальных операторов на функцию ф(е),
зависящую от координат вектора е, то при малых в можно написать (гл. 7, §
3, п. Д)
Т (в) ф (е) = ф (е-в) = ф (е) - ^ 8" ф (е);
(15.50)
в силу формулы (15.48) получаем
Рх=-*>У^ЕВ~ду' Рг = ~'дг' Р* = ~5Г
В качестве типичного примера функции, преобразующейся по представлению
T<k>, можно взять функцию
ф (е) = ехр (- ik-e) = exp (гк-г-iktct), (15.52)
где к-трехмерная часть, a kt-временная компонента четырехмерного вектора
к.
При исследовании физического смысла пространственно-временных трансляций
мы можем ограничиться лишь
100
Глава 15
временными трансляциями, поскольку в § 1, п. А мы уже показали, каким
образом инвариантность относительно пространственных трансляций приводит
к сохранению импульса. Инвариантность по отношению к сдвигам во времени
означает, что инфинитезимальный оператор Pt также соответствует
сохраняющейся величине, которую мы назовем энергией. Опять-таки этот
оператор антиэрмитов и имеет неправильную размерность. Настоящий оператор
энергии имеет вид H=ihcPt. Инвариантность гамильтониана во отношению к
временным трансляциям означает, что он не содержит явной зависимости от
времени. Если же гамильтониан инвариантен также и относительно
пространственных трансляций, то мы должны обнаружить собственные
состояния, индицируемые вектором к, которому соответствуют импульс %к (§
1, п. А) и энергия i%c (- ikt) = = %ckt, обозначаемая обычно через Е. Для
системы, обладающей лишь инвариантностью относительно сдвигов во времени,
мы сохраняем только индекс kt или Е. На самом деле в обычном выражении
(5.3) для волновой функции стационарного состояния находит отражение то
обстоятельство, что при временных трансляциях это состояние преобразуется
по представлению, характеризующемуся величиной kt - ElKc. Отметим, что
уравнение Шредингера (5.2) получается путем приравнивания явного
выражения ifld/dt для оператора энергии, полученного из
инфинитезимального оператора Pt, оператору энергии Н некоторого
конкретного вида-например T + V , описывающего, согласно нашим
предположениям, поведение исследуемой системы. Заметим также, что,
поскольку оператор Р является четырехмерным вектором, операторы энергии и
импульса образуют четырехмерный вектор (рх, р рг, Н/с) с собственными
значениями %(kx, k , kz, kt). Отсутствие явной зависимости гамильтониана
от времени и в классической механике приводит к закону сохранения энергии
(гл. 16, § 1, п. Б).
В принципе величина kt может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Интерпретация состояний с отрицательной энер гией
наталкивается на трудности; как, например, объяснить, что состояния с
положительной энергией не распадаются на состояния с отрицательными
энергиями? Ранее предлагался постулат
Пространство и время
101
о том, что все состояния с отрицательными энергиями заполнены, но он не
был удовлетворителен. В настоящее время постулируется, что энергии всех
физических частиц положительны, и это согласуется с данными эксперимента.
Тем не менее представления, соответствующие отрицательным значениям kt,
играют некоторую роль при построении квантованных полей. Мы кратко
остановимся на этом вопросе в гл. 16.
Б. Группа Пуанкаре и ее представления
Группа Пуанкаре 5s состоит из преобразований Лоренца L, трансляций Р (е)
и их произведений. Хотя трансляции и преобразования Лоренца не
коммутируют, их закон умножения имеет простую форму. Чтобы показать это,
рассмотрим два произведения: Р (е) Le = Le-{-? и
LP(e)e = L (e-j-e) = Le-fLe. Из этих равенств следует, что
LP (в) = Р (Le) L . (15.53)
Таким образом, общее преобразование Пуанкаре можно представить в виде
e' = P(s)Le = Le-{-s, (15.54)
т. е. сначала выполняется преобразование Лоренца, а
затем трансляция. Группа 5* весьма похожа на евклидову группу (§ 1) с той
лишь разницей, что число измерений равно четырем, а роль вращений играют
преобразования Лоренца. Число параметров теперь равно десяти: шесть
параметров определяют преобразование L и четыре - Р(е). Для
преобразования, индуцированного в пространстве представления элементом
группы Пуанкаре Р (е) L, мы примем обозначение Т (е, L). Как обычно,
операторы Т (s, L) подчиняются тем же законам умножения, что и
соответствующие операторы группы.
Теперь, повторяя ту же последовательность шагов, что и в случае
евклидовой группы (§ 1, п. В), мы построим неприводимые представления
