Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
преобразование L в формуле
(15.66) принадлежит подгруппе <§г.
Шаг 4. Построим теперь представление групп отвечающее изотропным
векторам к, образовав множество
базисных векторов вида
| km> = Т (R^QJ | k0m>, (15.67)
где k-произвольный положительный изотропный вектор. Для доказательства
того, что это множество векторов порождает пространство представления,
рассмотрим результат действия произвольного преобразования Пуанкаре
108
Глава 15
на вектор из этого множества:
Т (в, L) | к ту = Т (е) Т (L) Т (R^yQz) | к0/п> = в силу <15.67).
= Т (е) Т (L') |кат> = где i/=lr*j,q*.
= T(e)T (R^Qz) Т (L') J к0/7г> = В силу (15.65).
= Т ((r))"1" exp ( ima) J кQmy = в силу (15.66).
= Т (в) exp (- ima) | к 'т>= ^ ^
= exp (ik' - в- ima) |k#m>. в силу <15.49).
(15.68)
Легко показать, что k'=Lk, но угол поворота а должен быть найден из
определяющих его формул. Преобразование L' определяется по преобразованию
L и вектору к, а факторизация (15.66) для преобразования L' задает
преобразование L', принадлежащее подгруппе S2. Но элементы группы Si
являются произведениями "трансляций" и поворотов из подгруппы St2.
"Трансляции" в данном случае несущественны, так как вектор | k0m>
"трансля-ционно"-инвариантен [формула (15.65)].
Формула (15.68) показывает, что множество векторов
(15.67) порождает пространство некоего представления; обозначим его
через Р(0> т). Как и в предыдущих случаях, можно показать, что это
представление неприводимо и что представления, полученные исходя из
произвольного положительного изотропного вектора, эквивалентны
построенному выше представлениюР10' т) для к0=(0, 0, 1, 1). Напомним, что
индекс т, обязанный своим происхождением подгруппе 5?2, может принимать
свои обычные значения /п = 0, ±1/2, ±1 и т. д.
Область 1, пространственноподобные к
Представления этого типа можно построить тем же методом, но мы не будем
заниматься ими, так как физические приложения таких представлений
относятся лишь к частицам с мнимой массой (§ 8, п. А).
Пространство и время
109
В. Операторы Казимира
На примере других непрерывных групп мы видели, насколько ценными
оказываются операторы Казимира, введенные в гл. 7, § 5. Они строятся из
инфинитезимальных операторов и коммутируют с ними. Поэтому операторы
Казимира в любом неприводимом представлении кратны единичному оператору.
Два оператора Казимира для группы Лоренца даются выражениями (15.35).
Теперь мы построим операторы Казимира для группы Пуанкаре. В нашем
распоряжении имеются шесть операторов Хч и Ya группы 3, а также четыре
инфинитезимальных оператора трансляций Р? и Pf, где q - x, у, г, a Pt
соответствует временным трансляциям. Перестановочные соотношения для
операторов Хп и Ye даются формулами (15.32). Трансляции коммутируют друг
с другом, а перестановочные соотношения между ними и инфи-нитезимальными
операторами группы Лоренца можно вывести из равенства (15.53) (задача
15.7). В результате в дополнение к соотношениям (15.15) имеем
[Pf, X?] = 0, [Р" Y,,] = -6?>,,Pf> [Ptl Y?] = Рд. (15.69)
Поскольку оператор Р - четырехмерный вектор, оператор р.р = -р*_р*-РЗЧ-Pf
лоренц-инвариантен, а так как он очевидным образом коммутирует с
трансляциями, то ясно, что оператор РР пуанкаре-инвариантен. Чтобы
вычислить его значение в некотором неприводимом представлении группы
Пуанкаре 3>, заметим, что если |к> - произвольный базисный вектор,
преобразующийся при трансляциях по представлению Т(к), то (§ 4, п. А)
Р [ к> = - tk | к>, (15.70)
откуда прямо следует, что
Р Р| \> = {%+kl + %-kl)'\k> = -k*,\k>, (15.71)
где & = (k-k)1/!-"длина" вектора к. Следовательно, в неприводимом
представлении P(ft> s) группы 5* оператор Казимира Р • Р есть
произведение единичного оператора на величину -k2. В представлении Р<0'т)
все базисные
110
Глава 15
векторы преобразуются при трансляциях по представлению Т (к) с изотропным
вектором к, так что k = 0 и оператор Р-Р равен нулю, хотя, конечно, к=^0.
Построить второй оператор Казимира, используя только квадратичные функции
инфинитезимальных операторов, оказывается невозможным. В этом нетрудно
убедиться, заметив, что оператор Р при преобразованиях Лоренца
преобразуется по представлению L'1/*' 1/2\ тогда как операторы (X ± iY)
преобразуются по представлениям L11'0) и L(0' п (§ 2, п. Д). Правило
разложения произведения представлений на неприводимые [формула (15.37)]
указывает на то, что единственные квадратичные лоренц-инва-риантные
комбинации могут быть получены лишь путем умножения упомянутых выше
представлений самих на себя. Так получаются операторы Р-РиХ2 - Y2±2t'X-Y.
Первый из них уже известен нам, а никакая комбинация остальных не может
быть сделана трансляционно-инвариантной. Новый оператор Казимира можно
получить, построив трансляционно-инвариантный четырехмерный вектор W и
образовав затем лоренц-инвариантное скалярное произведение WW. Мы видели
(§ 1, п. Д), что оператор Р-Х инвариантен относительно трансляций и
вращений, и, следовательно, его можно взять в качестве ^-компоненты
