Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
времени с физической точки зрения эквивалентна обращению направления
движения и возникает при попытке найти представление для операции I*,
свободное от трудностей, вытекающих из формулы (15.93). При выводе этой
формулы мы предполагали, что Т (lt) является линейным оператором в
пространстве представления, содержащем векторы вида |к>. Если же
предположить, что T(lf)- "антиунитарный" оператор, то появления состояний
с отрицательной энергией удается избежать. Поскольку исследование этих
вопросов требует привлечения новых понятий, мы отложим его до § 7, п. Г.
Если мы хотим включить в рассмотрение как пространственную инверсию I,
так и отражение времени lt, определенное равенством lte = (%, у, z, -ct),
то для того, чтобы получить группу, нам придется рассматривать также и
произведение llt, меняющее знак всех четырех компонент вектора: llte - -
е. Обозначим получившуюся таким образом группу через 3ist. Заметим, что
произведение llt коммутирует со всеми преобразованиями Лоренца и не
коммутирует с трансляциями.
§ 7, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ
Ранее мы уже говорили о физическом смысле многих операций симметрии,
входящих в группу Пуанкаре. В § 1, п. А с точки зрения физики
рассматривались трехмерные трансляции, в § 1, п. Д-трансляции и вращения
в трех-
120
Глава 15
мерном пространстве, образующие группу <?3, а в § 4, п. А-четырехмерные
трансляции. Теперь мы рассмотрим другие стороны этой проблемы,
относящиеся к полной группе Пуанкаре.
В § 1, п. Д было показано, что группа <§3 пригодна лишь для описания
одной свободной частицы или коллективного движения системы частиц.
Параметры же, определяющие представление группы, соответствуют разным
свойствам описываемой системы. Так, представление gdfti, т) соответствует
абсолютной величине |к| импульса системы и проекции т внутреннего
углового момента (или спина) на направление движения. Состояния,
отвечающие различным направлениям вектора к, эквивалентны в том смысле,
что они могут быть получены друг из друга посредством вращений.
Инвариантами являются величины | к | и т. Поскольку сказанное относится к
любым свободным системам, оно должно относиться и к элементарным
частицам, внутреннее строение которых может быть нам совершенно
неизвестно. Следовательно, мы можем характеризовать различные
элементарные частицы значениями инвариантов |к| и т. Но, рассуждая таким
образом и ограничиваясь лишь группой S3, мы должны считать разными
частицами частицы с разными абсолютными значениями импульса | к) и
разными проекциями внутреннего углового момента т на направление
движения. Очевидно, что это неверно, но теперь видно, что такая
несуразность обусловлена тем, что мы взяли в качестве группы симметрии
группу ?3, а не группу 9*. Включение в рассмотрение преобразований,
которыми связаны между собой системы, движущиеся относительно друг друга
с постоянной скоростью, т. е. преобразований, которые вместе с группой $3
составляют группу 3*, устраняет указанную нелогичность. Таким образом,
при изучении группы Пуанкаре мы должны найти более естественные
фундаментальные инварианты.
А. Масса
Неприводимые представления группы Пуанкаре характеризуются прежде всего
оператором Казимира Р • Р, который равен (§ 4, п. В) -k% для
представления P(*>J) и 0 для представления р"ь"">. в представлениях,
соответ-
Пространство и время
121
ствующих пространственноподобным векторам к, не рассматривавшихся нами
подробно, оператор РР был бы положительным. По причинам, которые будут
ясны из дальнейшего, мы связываем оператор РР с квадратом массы, а
именно: "оператор квадрата массы" с учетом соответствующих размерных
множителей определяется как - fap-P/c2. Следовательно, обозначив символом
М2 величину "квадрата массы", имеем M2 = t2k2/c2 в представлении P(ft's)
и М2 = О в представлении Р<0' т)\ для пространственноподобных векторов
получается М2< 0. При такой интерпретации масса является мнимой для
пространственноподобных к, равна нулю для представлений типа Р(0' т) и
принимает значение M = nk/c для представлений р^'*1. (Отметим, что именно
величина М2, а не М имеет в данном случае смысл; точно так же в случае
углового момента мы видели, что оператор Казимира J-J имеет собственное
значение, равное /(/ + 1), хотя мы используем индекс J.)
Теперь покажем, что мы правильно употребляем термин "масса". Ранее мы
интерпретировали четыре компоненты оператора Р, связав их с импульсом и
энергией. Само определение Р-Р = Р2 - 2Р? указывает на соотно-
Q
шение между собственными значениями компонент оператора Р. В
представлении Р'*'оно принимает вид (см. выше определение величины М2)
- с2М21%2 = - Е2/%2с2 + 2 Р*Л2,
я
т. е. с учетом определения величин р и Е (§ 1, п. А и § 4, п. А)
?2 = М2с4 + с2р2. (15.94)
(Это известное соотношение между энергией и импульсом, справедливое в
классической теории относительности; гл. 16, § 1. Величина М называется
массой покоя.) Если импульс мал, т. е. р<^.Мс, то
