Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 36

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 138 >> Следующая

группы 5*.
Шаг 1. Выберем базисные векторы | к> так, чтобы они принадлежали
неприводимым представлениям подгруппы
102
Глаза 15
трансляций и, следовательно, удовлетворяли равенству
(15.49).
Шаг Г2. Покажем, что пространство неприводимого представления, содержащее
вектоР Гк>. должно также содержать все базисные векторы вида | к'>, где
к' = L к при всех L. Другими словами, вектор к* имеет ту же "длину", что
и к, и расположен в той же области пространства-времени (§ 2, п. А. и Б).
Действительно, рассмотрим следующую цепочку равенств, полученную с учетом
формул (15.53),
(15.49) и (15.22):
Т (в) Т (L) | k> = Т (L) Т (L_1e) | к> =
= T(L)exp(ik L-1?)|k> =
= ехр (i'Lk-в) T(L) | к>. (15.55)
Таким образом, если | к>-базисный вектор, то вектор T(L)|k>, который
также должен принадлежать пространству данного представления,
преобразуется по представлению подгруппы трансляций, заданному величиной
k'=Lk, чем и доказывается наше утверждение
Следовательно, неприводимые представления группы 9Р моЖн0 сначала
классифицировать в соответствии с областью пространства-времени, в
которой лежит вектор к. Как мы видели в § 2, п. Б, таких областей имеется
шесть. Неприводимые представления, соответствующие разным областям, имеют
совершенно разную структуру, и оставшиеся два шага мы проделаем отдельно
для каждой области.
Область 6, к=0
Этот случай не представляет затруднений, так как при к = 0 все базисные
векторы инвариантны относительно трансляций и группа 5s эффективно
сводится к группе 3. Неприводимые представления в этом случае есть просто
представления рассмотренные в § 2, п. Д.
Области 2 и 3, времениподобные векторы к (представления Р*к's*)
Шаг 3. Для построения неприводимых представлений в этом случае выберем
простой времениподобный вектор
Пространство и время
103
к0 = (0, 0, 0, k) длиной k. Для определенности положим k > 0-это случай
положительного времениподобного вектора, область 2. Результаты для
отрицательного времениподобного вектора будут в точности такими же. Так
как вектор к0 инвариантэн^относительно вращений 31 (а), из формулы
(15.55) следует, что вектор Т (R (а)) | к0> при трансляциях преобразуется
так же, как |к0>. Таким образом, множество базисных векторов пространства
представления, преобразующихся по отношению к трансляциям как вектор
|к0>, образует инвариантное по отношению к подгруппе подпространство и
этим векторам наряду с к0 можно приписать индекс, соответствующий
неприводимому представлению подгруппы 3ls. Мы будем задавать
представление группы индексом s (= 0, 1/2, 1, 3/2, • ¦ •)• Индекс ms - s,
s-- 1, . .., -s будем использовать для того, чтобы различать базисные
векторы пространства неприводимого представления группы 31* (гл. 7, § 4,
п. Б), так что в .дальнейшем вместо [к0> мы будем писать [ k0sm^>. В
обозначениях гл. 7, § 4, п. Б мы получим набор (2s+ 1) базисных векторов,
обладающих свойством
Т (R (а)) | к№>в2оПЯ5(а) | к asms'> (15.56)
ms
и удовлетворяющих условию (15.49).
Шаг 4. Исходя из этих (2s1) базисных векторов, мы покажем теперь, что
пространство неприводимого представления порождается всеми векторами вида
| ksm^> = Т (Q [b (k)]) |k0sms>, (15.57)
где к-произвольный четырехмерный вектор, принадлежащий той же области и
имеющий такую же "длину", что и четырехмерный вектор k", а b (к)
соответствует тому однозначно определенному преобразованию Лоренца,
которое переводит к0 в к, т. е.
Q[b (?)]?" = к. (15.58)
Из формулы (15.26) видно, что длина трехмерного вектора b (к) равна
Arch(fet/&), а его направление задается
104
Глава 15
вектором -к, причем здесь к--пространственная часть, a kt-четвертая
компонента вектора к.
Чтобы показать, что множество (15.57) с заданными к0 и s образует базис
пространства представления, рассмотрим результат применения к этим
векторам произвольного оператора представления. При этом нам понадобится
соотношение (15.27), выражающее то обстоятельство, что любое
преобразование Лоренца может быть представлено в виде произведения чисто
лоренцевского преобразования (буста) на вращение. В результате получаем
Т (в~ L) | ksmsy = Т (в) Т (L) Т (Q[b (к)]) | k0sms> --= Т (в) Т (!_') |
k0sm^> -
= T(B)T(Q')T(R')|k0s/ns> =
= T(e)T(Q')2Z?^mi (R')|kesm'> =
m's S
= ГЙ (R') I ?ж> =
*l[mS
= exp (tk' -8)2 D^lms( R')! к 'sm's>.
В силу (1 5.57) Здесь L'= = LQ(b (k)).
В силу (15.27). В силу (15.56)
В силу (15.57) при k'=Q'k0.
В силу (15.49).
(15.59)
Заметим, что вектор к' равен просто Lk, так как к' = - Q'k0 = L' (R')_1k"
= L (Q [b (к)] k0=Lk. Этот результат можно было предвидеть, учитывая
формулу (15.551. Параметры, определяющие вращение R', при любых данных к
и L можно вычислить, исходя из формул, определяющих это вращение:
L' = Q'R', (15.60)
L' = LQ [b (к)], (15.61)
но мы не будем вдаваться в детали этих вычислений.
Формула (15.59) показывает, что множество базисных векторов (15.57)
инвариантно относительно преобразований группы Пуанкаре и, следовательно,
образует базис пространства представления, которое мы могли бы обозначить
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed