Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, так как 12 = Е-тождественное преобразование, мы имеем = Т (I) VJm.
При /'=#=/ векторы е^, и должны быть линейно-независимыми и, как следует
из приведенных выше формул, набор 2 (2/+ 1) (2/' + 1) векторов и
с заданными / и /' инвариантен
относительно операторов А^, Вч и I группы Следовательно, эти векторы
порождают пространство неприводимого представления, которое мы обозначим
через Ц'1 /,), хотя порядок написания индексов / и /' в этом случае
несуществен. Очевидно, что, ограничившись подгруппой 3, мы получим
разложение
L</./') = LW/')0L</'' /). (15.44)
Из равенства (15.43) явствует, что векторы е и f не обладают определенной
четностью. Чтобы получить векторы с определенной четностью, нужно взять
комбинации
e^±f?/m, (15.45)
четность которых определяется знаком "+" или "-". Хотя эти комбинации не
являются собственными векторами операторов А2 и В2, они являются
собственными векторами оператора X2-Y2, определенного формулой (15.35).
На случае / = /' необходимо специально остановиться, так как при / = /'
векторы еЦщ, и не обязательно линейно-независимы. Более того, мы покажем,
что если они линейно-независимы, то представление, полученное
Пространство и время
97
из векторов еЦп', приводимо. Будем действовать методом доказательства от
противного. Допустим, что векторы ^тт' и Шт' линейно-независимы. Тогда
неприводимое представление, содержащее векторы е^,, должно также
содержать векторы ЪЦт,. Следовательно, размерность его должна быть равна
2(2/-}-1)2. Но так как
и, согласно формуле (15.42), векторы е и f преобразуются под действием
операторов А? и одинаково, подпрост-
ранство, образованное (2/-}-1)2 базисными векторами инвариантно
относительно всей группы. Значит, наше представление приводимо, что
противоречит исходному предположению. Единственная возможность избежать
этого противоречия состоит в том, чтобы положить Щт-= сеЦт, для некоторой
постоянной с. Так как I2 - Е, мы имеем с2=1 и с=±1. Таким образом, при
каждом / имеются два возможных неприводимых (2/ + I)2-мерных
представления группы которые мы будем
обозначать через L(/+) и L*-7'-1. При ограничении подгруппой собственных
преобразований Лоренца эти представления совпадают с представлением 1_(Л>
и характеризуются свойствами
Заметим, что знаки ± в символе L(/±) не означают, что все базисные
векторы обладают положительной или отрицательной четностью. Формулы
(15.46) показывают, что оператор Т (I) не диагоналей в тт'-базисе.
Например, четырехмерное представление, заданное матрицами L, является
представлением L(1/2_>. В базисе ех, е.у, ег, et, в котором заданы
матрицы L, оператор Т (I) диагоналей и имеет три собственных вектора с
отрицательной четностью и один с положительной. Из формул (15.46)
следует, что в тт'-базисе матрица Т (I) имеет вид
(15.46)
- 1 О О О 0-1 0-1 0 0 0 0 -
98
Глава 15
§ 4. ТРАНСЛЯЦИИ И ГРУППА ПУАНКАРЕ 5"
В § 2 и 3 мы имели дело с однородными преобразованиями Лоренца,
оставляющими на месте начало координат. Теперь мы рассмотрим объединение
пространственно-временных трансляций с группой Лоренца - группу Пуанкаре
53, или, как ее иногда называют, неоднородную группу Лоренца. Прежде чем
переходить к группе Пуанкаре, мы кратко остановимся на одних трансляциях.
Включению несобственных пространственных инверсий и отражения времени,
так же как и выяснению физического смысла различных представлений группы
Пуанкаре, будут посвящены следующие разделы.
А. Трансляции в пространстве-времени
Трансляции в пространстве-времени мы определяем просто путем обобщения
трехмерных трансляций (§ 1, п. А) на четвертое измерение. Оператор
трансляции записывается в виде Р(в), где 8 = (ех, в , г2, et)-
четырехмерный вектор, определяемый равенством
р (e)e==e-j-8. (15.47)
Заметим, что сдвиг во времени добавляет величину г( к ct, а это
соответствует изменению t на величину е,/с. Как обычно, инфинитезимальные
операторы Р*, Ру, ?г, ?t определяются формулой
Р("Н ! + е*Р* + + 8грг-etPt= 1- г-? (15.48)
при малых 8. Выбор знака минус в определении оператора Р* означает, что
он соответствует отрицательным сдвигам во времени, тогда как
пространственные компоненты соответствуют, как и в § 1, положительным
пространственным трансляциям. Такое явно несимметричное определение
принято для того, чтобы операторы Рх, ?у, ?г и Pt были компонентами
четырехмерного вектора Р. Тогда при переходе от одной системы отсчета к
другой они преобразуются как компоненты любого другого четырехмерного
вектора (задача 15.6) и мы можем использовать в формуле (15.48) скалярное
произведение. (Если бы мы не ввели этого знака минус, то нам пришлось бы
Пространство и время
99
различать ковариантные и контравариантные векторы; см. замечание в § 2,
п. А.) Четырехмерная группа трансляций является абелевой группой,
образованной, как и в случае трех измерений, прямым произведением
одномерных групп трансляций. Отсюда следует, что ее неприводимые
представления одномерны и задаются четырьмя числами kx, ky, kz и kt.
