Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
атомов. Из формулы (14.56) получаем
со| = -^ \2Х-Я"ехрг(-[ika) -X exp (ika)\ =
- coska).
График зависимости 'cof от 'k представлен на рис. 14.7. Границы зоны
Бриллюэна находятся при значениях ±п/а,
42
Глава 14
а полученная кривая имеет большое сходство с соответствующей кривой для
низшей зоны состояний электронов в модели свободных электронов.
Вырождение состояний с противоположными значениями k обусловлено тем, что
рассматриваемый кристалл обладает точечной группой с инверсионной
симметрией (§ 9).
Существенное различие между результатами, полученными здесь и в гл. 6,
состоит в том, что в гл. 6 спектр частот нормальных колебаний был
дискретным, а в данном случае он оказался непрерывным. Это объясняется
тем, что мы взяли бесконечную цепочку. Если ограничиться цепочкой
конечной длины (с N атомами), то непрерывная кривая рис. 14.7 распадется
на N отдельных точек, соответствующих N эквидистантным значениям k. Но в
реальных кристаллах число N столь велико, что различие между дискретным и
непрерывным спектрами практически стирается.
Б. Трехмерные кристаллы с несколькими атомами в элементарной ячейке
Обобщим изложенное в [п. А на случай трехмерного кристалла с s атомами в
одной элементарной ячейке, построив 3s ортонормированных базисных
векторов, преобразующихся согласно представлению к трансляционной
группы#-, путем проектирования на каждое из 3s линейнонезависимых атомных
смещений в одной ячейке. Как и
Симметрия в кристаллических твердых телах
43
в выражении (14.53), такие смещения будут иметь вид иР = ^ exp (ik • n)
е" (n), (14.57)
, П
где е#1(п)-единичное смещение (во "взвешенном" смысле) i-го атома в
ячейке п; индекс i = x, у, г указывает направление смещения.
Нормальные моды будут представ-
лять собой линейные комбинации этих 3s векторов:
u(k) = 2cU^. (14-58)
и
Чтобы найти нормальные частоты и коэффициенты с*, последуем методу гл. 6
и диагонализируем 3sx3s-матрицу потенциальной энергии при смещениях
(14.58) в базисе (14.57). В качестве очевидного обобщения выражения
(14.54) выразим прежде всего V через обычные координаты:
У = т X Btcn,rimqu(n)qt4(m), (14.59)
t, t', t, /, n, m
где qu(n) -декартовы компоненты (в i-м 'направлении) смещения атома t в
ячейке п. Тогда из формул (14.57) и (14.58) видно, что моды, отмеченные
индексом к, имеют компоненты вида
(n) = °и ехР • п)1М\1ш.
Подставляя данное выражение в формулу г( 14.59), получаем величину V в
моде к в следующем виде:
= (ЕЕ1).
Ш tt'ij ' п /
где
- ~ ¦ ¦ .,/2- ? в'ю, t'lpexp (- ik-p). (14.60)
Здесь введено обозначение p = n-m; индекс о обозначает любую
фиксированную ячейку. Тогда в качестве простого обобщения формулы (6.35)
мы получаем, что величины (c)к являются собственными значениями матрицы
(14.60).
Чтобы показать, к чему приводит наличие более чем одного атома в
элементарной 'ячейке, рассмотрим одно-
44
Глава 14
мерную цепочку с двумя атомами в элементарной ячейке и законом Гука для
взаимодействия ближайших соседей (рис. 14.8). В^этом случае потенциальная
энергия имеет вид
V = ^ X Ц[Я* (п)-Яг (п)]2 + [<7i (")-<7а("- I)]2} =
П
= у А- X [2?! (n) + 2qt (п)-<7, (я) qt (n)-<71 (л) q2 (n) -
- <7i (n) <7* (n - 1)-<7* (n) <7,. (n + 1)]
(в последнем равенстве мы произвели замену "немого" индекса суммирования
п). Тогда коэффициенты Bt0,t'P
' Мг Л я -
• • • ¦'гшттшуштлтттшсптмшшжутряшшту' • • • 12 1 2 12 12
П- 1 /7 п* \ п+ 2
Рис. 14.8.
в одномерном аналоге выражения (14.59) примут вид
В10. 10 ~ В2 о, 20 " 2^>
В20, 10 = ^10, 20 " Аю. 2 - I = Вы , 11 =
а корни cot матрицы Е будут найдены как решение уравнения
2Я '"I
т. е.
Мг ^ (МхМ2)'/2'
Я тг[1 +ехр (-ika)] н>1
= 0,
й>1 = Я,
На "рис. 14.9 графически представлена ' зависимость с"! от ЬГв первой
зоне Бриллюэна. Эта зависимость вновь
Симметрия в кристаллических твердых телах
45
обнаруживает большое сходство с кривыми дисперсии для модели свободных
электронов в двух низших зонах. Если добавить в элементарную ячейку еще
несколько атомов, то соответственно возрастет и число зон, так что всегда
каждому атому в элементарной ячейке будет соответствовать одна
энергетическая зона. При k -> 0 величина со| также стремится к нулю, и
если мы проквантуем колебания, как это было сделано в гл. 6, то получим
кванты возбуждений, называемые фононами.
В случае трех измерений матрица Е, элементы которой даются формулой
(14.60), будет иметь размерность 3sx3s, так что при каждом значении к
будет существовать 3s корней. Это означает, что каждой зоне на рис. 14.9
будут соответствовать три зоны в трехмерном случае. Три нижние зоны
касаются в точке к = 0; при к=0 они соответствуют трем трансляционным
степеням свободы, которые сами по себе не являются колебательными.
В кристаллах с точечной симметрией могут возникать вырождения в особых
точках зоны Бриллюэна, как, например, вдоль направления с вращательной
симметрией. При таких значениях к матрица Е может быть частично
диагонализирована на основании соображений симметрии (подробнее см. § 9).
