Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
записать общее вращение в виде R,- = H^Ge, где G0-один из элементов малой
группы, а Нр-один из элементов набора вращений (один для каждого вектора
звезды), удовлетворяющий равенству H/7k = kр. Взяв в качестве исходного
вектор екц, определим общий базисный вектор в виде
е(а) _ т /ц \ е(а) крц \пр/ км- *
Симметрия в кристаллических твердых телах_______57
Тогда матричный элемент дается выражением
т <К/ ¦ "I - т (n) Т (Ry) т (Н") е?> - Т (n) Т (Н,) Т (G.) еЦ --Т(п)^Тт
(G,)T(H,)el2.=
- exp ( - >к • п) 2 Г<(r) (G,) ем .
Ц/ Ч
При выводе последнего результата мы рассматривали Н9 и Gb как множители в
разложении вращения R/Hj,, == HeG& (подобным образом можно разложить
любое вращение) _ Вектор к? дается равенством к9 = Н9к и совпадает с R/k^
Рис. 14.10. Звезды вектора к для двумерной квадратной кристаллической
решетки с группой симметрии Civ. а-общий случай; б-вектор к вдоль оси лг;
в - вектор к вдоль диагонали квадрата; г-вектор к на границе зоны вдоль
оси х.
поскольку к не меняется под действием оператора Gb. Коэффициенты -
обычные матрицы неприводимых
представлений для малых групп.
Некоторые примеры звезд для двумерных решеток приведены на рис. 14.10; в
качестве трехмерного примера выберем простую кубическую решетку, для
которой зона Бриллюэна также представляет собой куб с ребром 2л/а. Здесь
мы имеем дело с точечной группой Од, и в звезде произвольного вектора к
насчитывается 48 векторов к,-. На рис. 14.11 показаны особые значения к,
обладающие симметрией, и их обозначения, принятые в физике твердого тела.
Для произвольной точки А вдоль оси kx малая группа- это группа CiV,
содержащая 8 элементов; ее звезда насчитывает 6 векторов (точек). Для
некой точки X на одной из граней зоны (где kx = п/а) имеет место
дополнительная симметрия, поскольку она эквивалентна вектору к с kx--п/а.
Поэтому малая группа для точки X имеет плоскость отражения,
перпендикулярную
58
Глава 14
оси х; она является группой Dih и содержит 16 элементов. Звезда для X
насчитывает лишь 3 вектора (точки). В центре куба Г малая группа
становится полной группой куба 0Л. Аналогично можно показать, переходя от
точки Г к М вдоль линии ГМ, что для произвольной точки 2 малая группа-это
группа C2v с 4 элементами и звездой из 10 векторов. Однако в самой точке
М все четыре верши-
ны куба в плоскости kxk2 эквивалентны, и возникающая при этом группа
симметрии есть группа Dih с 16 элементами; в этом случае звезда М имеет
лишь три точки: М1г М2, Мъ (рис. 14.11).
Б. Применения к электронным состояниям
В § 4 было показано, каким образом трансляционная симметрия приводит к
индицированию собственных функций вектором к, соответствующим
неприводимым представлениям Пк> группы трансляций <?Г. При этом, однако,
отсутствовало вырождение, поскольку все эти представления были
одномерными. Включение симметрии точечной группы приводит к
представлениям Г(к> пространственной группы Ъ, которые тоже индицируются
векто-
Симметрия в кристаллических твердых телах 59
Таблица 14.1
Характеры неприводимых представлений групп Civ, 0А и D4A (для общих
элементов, т. е. для элементов, входящих в Civ). Чтобы различить
представления разных групп, мы не пользуемся здесь обычными обозначениями
(приложение J), но обозначаем их символами Д/, Г/ и А',-. Группы 0^ и
?>4й-это произведения групп с множителем S2, а поэтому их представления
несут индекс " + " или "-". Мы даем только представления с отрицательной
четностью, так как нас интересуют в основном p-состояния. Единственные
имеющиеся состояния с положительной четностью принадлежат тривиальным
тождественным представлениям Г+ и А+_
С40 D*H
Ai Л2 Аз А* л5 Ч Ч гз" Ч Ч х1 х2 х3 х4 XT у о лвект
Е 1 1 1 1 2 112 3 3 1111 2 3
с* 1 1 1 1 -2 1 1 2-1-1 1111 - 2 -1
2С* 1 1 -I -1 0 1-1 0 1-1 1 1-1-1 0 1
1 - 1 1 -I 0 _1 -1-2 1 1 -11-1 1 0 1
1 -1-1 1 0 -1101-1 - 1 1 1 -1 0 1
ром к, но имеют размерность g (порядок точечной группы) при любом к.
Отсюда следует, что значение энергии е (к) для некоторого к будет
повторяться при всех значениях к,-, принадлежащих звезде вектора к;
другими словами, изоэнергетические поверхности, построенные в функции
вектора к, будут обладать полной симметрией точечной группы.
Для вектора к с особой симметрией неприводимое представление Г(схк> имеет
размерность sag/gi, т. е. возникает некоторое вырождение. Это
соответствует вырождению порядка g/gh обусловленному числом точек
(векторов) звезды, а также вырождению порядка sa в каждой из точек,
обусловленному неприводимым представлением малой группы.
Посмотрим теперь, как можно использовать эти результаты для расчета
зонной структуры, рассматривая движение электронов в кристалле в
приближении сильной связи (§ 4, п. В). Проиллюстрируем метод таких
вычислений на примере расчета зависимости в (к) для зон, построенных на
основе атомных р-функций, когда к лежит на оси х кубического кристалла, а
в точке Л (рис. 14.11) имеется малая группа Civ. Характеры этой группы
