Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(индицировании) неприводимых представлений пространственной группы Ъ.
Обозначим через L векторное пространство неприводимого представления.
Поскольку трансляции образуют подгруппу группы §, можно произвольно
выбрать базисные векторы, принадлежащие неприводимым представлениям Т<к>
группы ?Г. Пусть ек - один из таких базисных векторов. Тогда мы можем
построить набор векторов, действуя на ек всеми элементами группы Т (R,-,
п). Прежде чем идти далее, необходимо уточнить, что здесь имеются векторы
двух разных типов: векторы к в обычном трехмерном пространстве и векторы
ек в векторном пространстве L представления. Мы будем называть оба типа
просто векторами, но из контекста и из обозначений будет ясно, какой из
типов векторов мы имеем в виду. Для удобства рассмотрим сначала случай,
когда вектор к не обладает какой-либо особой симметрией, т. е. ни один из
поворотов R,- не оставляет к без изменения. В этом случае все векторы,
входящие в набор k^Rjk, разные, так как в противном случае из равенства
k,- = R,к следовало бы, что Rp1R;k = k, т. е. что к обладает особой
симметрией. Набор векторов к,- называется звездой вектора к.
Следовательно, согласно формуле (14.80), все векторы, входящие в набор
Симметрия в кристаллических твердых телах
55
ек/= Т (R,) ек в пространстве L, принадлежат разным неприводимым
представлениям Т(к> группы ?Г и потому линейно-независимы. Далее,
покажем, что они образуют инвариантное пространство и тем самым дают
представление S. Другими словами, набор векторов ек., полученный из ек
действием только группы вращений T(R,), образует базис представления Г
полной группы Ъ. Чтобы показать это, вычислим действие общего
преобразования {R/( ш} на векторы ек ;
Т (Ry, ш) ek. = Т (Ry, ш) Т (R,) ек = Т (RyR,-, tn) ек
в силу равенства (14.71). Если {ввести обозначение элемента группы RyR, -
R2, то на основании формулы (14.79) можно написать
Т (Ry, т)>кг = ехр(-iR2k-m) Т (R2) ек =ехр (-ikrm) екр
(14.81)
где k2 = R2k = Ryk,-. Это выражение дает общий матричный элемент для
общего элемента {Ry, ш} группы Ъ. Заметим, что размерность представления
Г равна числу g элементов в точечной группе. Как и в гл. 7, § 4, п. Б,
теперь можно утверждать, что набор ек, образует базис для пространства L
неприводимого представления; действительно, в противном случае
пространство L можно было бы разложить. Таким образом, структура
неприводимых представлений группы % описывается базисными векторами ек; с
матричными элементами (14.81). Представление индицируется произвольным
вектором к и обозначается через Г!к>. Очевидно, что представление Г<к>
эквивалентно представлению Г(к^ при любом к,-, входящем в звезду вектора
к, и, подобно группе трансляций, существует инвариантность представления
Г<к) относительно замены индекса к на к-f-Kn, где Кп-любой вектор
обратной решетки.
| Если вектор к'обладает некой особой симметрией (например, лежит на .оси
вращения порядка п или на плоскости зеркального отражения), то он будет
инвариантным относительно некоторых элементов R,-. Эти элементы должны
образовать подгруппу точечной группы, которую обычно называют "малой
группой" для вектора к. Если обозначить через gt порядок малой группы для
к, а че-
56
Глава 14
рез g-порядок точечной группы, то можно показать (задача 14.7), что
звезда вектора к содержит теперь лишь g/g[ векторов, которые мы обозначим
через . Вообще говоря, имеется более одного вращения R, обладающего
свойством Rk = kjC при фиксированных к и к^, но для каждого к" мы выберем
только одно из них и обозначим его через Нр. Нетрудно показать, что любое
вращение можно записать в виде где Ga принадлежит
малой группе.
Неприводимые представления группы % будут обладать теперь более сложной
структурой, поскольку векторы екг теперь уже не обязательно линейно-
независимы. Подмножество векторов вкг с к,= к, соответствующих элементам
малой группы, образует подпространство L' пространства L, инвариантное
относительно малой группы. Поскольку сама малая группа есть одна из
точечных групп, ее неприводимые представления хорошо известны; они
обозначаются символом Т(а). Можно показать, что если на пространстве L
должно осуществляться неприводимое представление пространственной группы,
то представление малой группы, действующее на подпространстве L', должно
быть неприводимым по отношению к малой группе. Таким образом, если sa-
размерность представления Т№), то должен существовать набор sa линейно-
независимых базисных векторов е<^, где р = 1, 2, ..., sa, которые дают
представление Т<со малой группы и все преобразуются как Т<к> при
трансляциях. Взяв элементы Н^, не входящие в малую группу, можно далее
построить соответствующий набор sa новых базисных векторов для каждого из
g/gt векторов кр, образующих звезду. Поэтому представление группы % имеет
размерность sagfgl и обозначается символом Г<кк>.
Чтобы построить матричные элементы представления, соответствующие
выражению (14.81) в случае особой симметрии, необходимо прежде всего
