Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
набор решений 8"(к). Как явствует из самого уравнения (14.25), если
величина к медленно меняется, то решения этого дифференциального
уравнения будут изменяться непрерывно, что указывает на непрерывную
зависимость е" от к. При каждом значении п энергии е" (к) образуют так
называемую зону, поскольку они изменяются в ограниченных пределах, что
будет проиллюстрировано ниже.
А. Модель почти свободных электронов
Рассмотрим теперь общие свойства функции 8(к), выбрав очень простую
модель кристалла. В этой модели электроны считаются почти свободными, а
периодический потенциал V (г)-малым возмущением состояний свободных
электронов. Очевидно, что такое приближение может быть приемлемым только
для самых внешних атомных электронов (валентных электронов), которые-
особенно в металлах-могут почти свободно двигаться по кристаллу. В
следующем параграфе мы покажем, что на основе такой модели удается
объяснить, почему элементы из различных частей периодической таблицы
элементов оказываются металлами и диэлектриками.
Если положить К(г) = 0, то, как нетрудно убедиться, уравнение (14.25)
будет иметь решения вида
26
Глава 14
которые в силу равенства (14.16) удовлетворяют периодическим граничным
условиям только тогда, когда Кп является вектором обратной решетки
[формула (14.12)].
Поэтому при любом фиксированном к имеется одно решение, соответствующее
каждому п (т. е. трем целым числам nlt п2 и п3). Тогда "энергетические
зоны" будут индицироваться числами п, хотя на практике иногда проще
просто нумеровать зоны в порядке возрастания энергии (1, 2, 3...),
начиная с зоны низшей энергии. Постоянный множитель v<r /г обеспечивает
нормировку волновой функции Unk (г) в пределах элементарной ячейки с
объемом г<, = |а1хаа-а3|. Такая нормировка наиболее удобна, поскольку в
силу периодичности большинство интегралов можно свести к интегралам по
элементарной ячейке. Заметим, что полная волновая функция имеет вид
Фпк) (г) = ехр (ik.r)Mnk(r)evc-v*exp[t(Kn *f к)-г], (14.27)
а формула (34.26)-это обычное выражение для энергии плоской волны
(14.27), характеризующей состояние свободного электрона. Несколько
необычная форма волнового вектора объясняется просто тем, что мы взяли в
качестве области определения вектора к зону Бриллюэна.
На рис. 14.3, а представлен график функции е"(&), даваемой формулой
(14.26), в частном случае одномерного кристалла, т. е. системы атомов,
расположенных вдоль прямой линии на расстоянии а друг от друга. В этом
случае единственный вектор базиса обратной решетки имеет длину Ь = 2п/а,
а границы зоны Бриллюэна находятся при значениях +п/а. На графике видно,
как части кривой е (k) = А2/г2/2Л4, описывающей одноэлектронную энергию,
переносятся в зону Бриллюэна векторами обратной решетки.
Оставим теперь модель свободных электронов с V (г)=0 и рассмотрим влияние
периодического потенциала V (г) как возмущения, действующего на состояния
свободных электронов. Поскольку потенциал V (г) инвариантен относительно
группы трансляций, он будет связывать лишь состояния, принадлежащие
одному и тому же неприводимому представлению этой группы, т. е. состояния
с одинаковым вектором к в зоне Бриллюэна. Тогда ряд
Симметрия в кристаллических твердых телах______________27
Рис. 14.3.
28
Глава 14
теории возмущений для энергии примет вид
"п(к) = е(r) (к) + vj1 Jexp[-i(k+Kn)T].V (г)exp[t(k +
По ячейке
I Г
v> \ ехр (- /Кш-Г) V (r)exp(*Kn •r)dr\
+ Кп) • г] dr -}- v"2----------------- 5----------------5-К",
m еп -8m
(14.28)
где 8°n (к) - невозмущенные энергии, даваемые формулой (14.26). Поскольку
интегралы обладают периодичностью, достаточно ограничить область
интегрирования одной элементарной ячейкой, т. е. той областью, в которой
нормированы волновые функции. Член первого порядка ряда теории возмущений
есть константа V0, равная среднему значению потенциала V (г). Матричные
элементы в члене второго порядка имеют вид
J exp [-i (Km - K")-r] У (г) dr=\ exp (- tKni-n-r) V (r) dr.
Очевидно, что они в точности равны коэффициентам Фурье Vm-n, входящим в
разложение периодической функции У(г):
У(г) = 2 exp(t КР • r)Vp,
Vp = vy1 ^ exp (- iK^-r) V (r) dr. (14.29)
По ячейке
Таким образом, ряд теории возмущений (14.28) можно записать в простом
виде
еп (к) = е" (к) + J/0 + ? - 0'У* + • • •. (14.30)
р еп еп + р
где введено обозначение р = ш - п. Член второго порядка описывает обычный
эффект взаимного "отталкивания" между состояниями; из-за энергетического
знаменателя он максимален, когда состояния п и n-j-p имеют почти
одинаковую энергию.
Если принять простую одномерную модель (рис. 14.3, а), то "отталкивание"
должно приводить к спектру типа изображенного на рис. 14.3,6. Заметим,
что невозмущенные энергетические зоны касаются друг друга на границах
Симметрия в кристаллических твердых телах
29-
зоны Бриллюэна и при k = 0, а потому в этих точках разложение обычной
теории возмущений теряет применимость и необходимо использовать теорию
возмущений' для вырожденного уровня. Вычислим расщепление между двумя
