Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 13

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 138 >> Следующая

перекрываться .
Рассмотрим прежде всего так называемую s-зону, образованную электронами,
находящимися в атомных s-состояниях с 1 = т = 0. В низшем порядке теории
возмущений эти состояния, перемешиваясь, образуют зону, в которой каждое
из состояний является линейной комбинацией всех s-орбиталей. Новые
состояния должны преобразовываться по неприводимым представлениям группы
трансляций кристалла JT. Это означает, что они должны быть бло-ховскими
состояниями, индицируемыми вектором к, и могут быть найдены путем
проектирования (гл. 4, § 19) с орбитали при п = 0:
Ф(3к)(г) ос P<k>cps (г) ос
00 Е exp (tk • п) ср, (г-п). (14.39)
П
Заметим, что проектирование с орбитали с центром на другом узле изменяет
лишь полную фазу функции ф*к) (г), т. е. не изменяет полученного
состояния.
Если исходный атомный уровень не является s-состоя-нием, то будет
дополнительное вырождение, соответствующее разрешенным значениям т. В
этом случае сле-
п--г
Изолирован- Взашадейст-Иые вующиз
атомы атомы
Рис. 14.6.
36
Глава 14
дует строить линейные комбинации блоковских состояний, полученных из
каждой орбитали nlm. Напишем
ф^(г) = 2с*ф?>"(г), (14.40)
т
где
фЙ" (г) = 2 exp (tk • п) ф",и (г- п)
Л
есть блоховское состояние для орбитали т. Козффициен-ты Сщ вычисляют
обычно вариационным методом (гл. 5, § 7). В § 2 мы покажем, как их можно
найти, руководствуясь лишь соображениями симметрии, если кристалл
обладает кроме группы трансляций еще и точечной симметрией, а вектор к
направлен вдоль оси симметрии.
Нетрудно видеть, что описываемый метод аналогичен методу ЛКАО для
молекулярных орбиталей (гл. 13). Различие состоит лишь в том, что индекс
неприводимого представления точечной группы а заменяется индексом к для
группы трансляций. Вычисление носит менее общий характер, нежели в гл.
13, в том смысле, что мы ограничили сумму в (14.40) атомными орбиталями с
определенными значениями п и /. Метод можно обобщить, если учесть большее
число атомных орбиталей, соответствующих атомным состояниям близкой
энергии, а именно состояниям с данным значением главного квантового числа
п и разными значениями /. В этом случае вариационный метод дает матричное
уравнение, эквивалентное уравнению (13.5).
Для простых блоховских состояний (14.39) энергию можно получить, вычислив
диагональный матричный элемент одноэлектронного гамильтониана Н (г) в
этом состоянии, а именно величину
(к) - > (14.41)
1 кк
где Дкк=5 Ф^5* (г) Н(г)Ф5к> (г) dr,
/кк - $ Ф(5к)* (г) Фзк> (г)*.
Используя конкретный вид блоховских состояний (14.39),
Симметрия в кристаллических твердых телах
37
можно упростить эти выражения:
#кк = 2ехр [ik-(n-п')] ^ ф* (г-п')Н(г) фДг-n)dr=s
П, II' J
= 2 exp [ik*(n-n')] ? ф8* (r'-n'-f n) Н(г') ф,(г')*';
П, n'
здесь r' = r-п, и [мы воспользовались тем, что Н(г) = = Н(г'). Вводя
вместо п' переменную р*=п'-п, находим
#кк = 2 ехР (- ik - р) J ф5* (г-р)Н(г)ф4 (r)dr =
П, р
= 2 ехР (- lk • Р) Нр у (14.42)
п, р
где #р = J ср* (г-р) Н (г) ф, (г) dr.
Аналогично можно написать
/кк = 2 exp (- ik • р) /Р,
П, р
где
/р= S Ф* (г-р)ф,00*. (14.43)
Тогда энергию, даваемую формулой (14.41), можно записать в виде
2 exp (- ik.p) Яр
е,(к) = ^=------------------------- (14.44)
2 exF (- *к'Р) /р
р
Для вычисления интегралов #р и /р возьмем гамильтониан
Н(г) = -ш?2 + У(г), ,(14.45)
где V (г)-периодический потенциал, и перепишем его в виде
-Ш V2 + (г) + [V (r)-F" (r)J, (14.46)
где FaT(r)-потенциал центрального поля свободного атома. Тогда первые два
слагаемых составляют гамильтониан свободного атома, находящегося в начале
координат, и волновая функция s-состояния является собст-
38
Глава}14
венным состоянием этого гамильтониана с энергией &s:
(wV? + F"(r)) Ф,(г)"в,Ф,(г). (14.47)
Используя это уравнение, мы можем теперь записать матричный элемент Яр в
виде
Яр = S ф5* (г-Р) [8, -j-F (г) - FaT (г)] ф, (г) dr. (14.48) Тогда
выражение (14.44) принимает вид
2ехР(- ik-p) Vp]
е, (к) = е4+^г------------,
2ехРН<к'Р)/Р
Р
где
Vp = 5 ф5* (Г-P) [V (г) -(г)])ф, (г) dr.
Первое слагаемое в выражении (14.49) дает энергетический уровень
свободного атома, а второе слагаемое описывает зависимость от к, которая
и приводит к расщеплению одного уровня в зону. Путем качественных
рассуждений можно установить, каким образом это расщепление зависит от
свойств невозмущенного состояния. Если фДг)-глубокое "остовное" состояние
(например, ls-co-стоянпе), то его волновая функция сильно локализована;
тогда /р и VP практически равны нулю при значениях р, отличных от нуля,
вследствие малого перекрывания волновых функций. Это означает, что второе
слагаемое в выражении (14.49) сводится к величине Vjl0, не зависящей от
к, так что ширина зоны равна нулю. Для функций не столь глубоких
состояний можно принять грубое приближение, в котором'пренебрегают
перекрытием в/р, но сохраняют слагаемое^ Vp, соответствующее вектору р
ближайших соседей. В случае простого ^кубического кристалла, в котором в
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed