Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
низшими уровнями энергии вблизи точки вырождения на границе зоны k = -
я/а, пренебрегая связью е другими (высшими) зонами. Запишем искомые
решения в виде линейных комбинаций двух невозмущенных состояний
uk(x)'=c0uok(x)+c1ulk(x). (14.31)"
Тогда уравнение Шредингера (14.25) приводит к матричному уравнению
4W+V.-.W V, Wi_o> (М.32)
Vi ?°i(k) + V0-e(k)J\c
где в (k)-новое значение энергии, a Vx- первый коэффициент Фурье в
одномерном фурье-разложении, соответствующем (14.29):
V
и
т - J ехр (-2яimx/a)V (x)dx. (14.33)<
О
Решения уравнения (14.32) имеют вид
8± {Щ = У0 + 1 [eg (ft) + е" (ft)]± 1 {[eg (Щ-8" (k)f 4- 4Vty/r.
(14.34>
Вдали от границы зоны Бриллюэна, где величина V\ мала! по сравнению с
разностью энергий е§(&)-??(&), эти решения стремятся к невозмущенным
значениям. На самой границе зоны Бриллюэна eJJ (ft) = ej (ft) и корни
уравнения (14.32) таковы:
8± (~ ?)=(~т) ± I ^ I- (14-35>
Отсюда видно, что на границе зоны Бриллюэна возникает запрещенная зона
(междузонная щель) шириной 2 | |.
Аналогичное вычисление для точки контакта между энергетическими зонами с
индексами п и т приведет к расщеплению, равному 2\Vn_m\; эти результаты
иллюстрируются графиком рис. 14.3, б.
30
Глава 14
Расщепление непрерывной последовательности разрешенных энергий
невозмущенной системы на зоны разрешенных энергий, разделенные
запрещенными зонами (щелями), вообще ье содержащими электронных
состояний, есть основной результат теории электронных состояний в
кристаллах. Ниже будет показано, каким образом это приводит к различию
между металлами и диэлектриками. Но сначала рассмотрим вид волновых
функций на границе зоны Бриллюэна. Будем считать величину Vx
отрицательной, что соответствует ионному потенциалу притяжения на узлах
решетки. Тогда решения уравнения (14.32), соответствующие энергиям
(14.35), имеют вид с±=+с±, откуда на основании формул (14.31) и (14.27)
получим
Волновая функция у?+п'а{х) дает высокую электронную плотность вблизи
точек х - ±й/2 (т. е. на половине расстояния между соседними узлами), а
волновая функция vPl"',a(x)-на самих узлах решетки. Следовательно,
функция Чг1я/0 {х) должна соответствовать более низкой энергии, что
согласуется с выражением (14.35).
Б. Металлы и диэлектрики
В п. А мы исследовали общий ход кривой зависимости "(к) для валентного
электрона в кристалле. Рассмотрим теперь многоэлектронное основное
состояние, которое получается при размещении электронов по найденным
одноэлектронным состояниям с учетом принципа запрета Паули. Для удобства
возьмем очень большой, но конечный кристалл, в котором можно пересчитать
все электроны и все состояния. Граничными условиями, которые мы наложим
на поверхностях кристалла, будут ограничены значения к, приемлемые для
блоховских состояний (14.21). Фактический выбор граничных условий не
может повлиять на объемные свойства кристалла; принято выби-
?+л/а (x) = -2~7^exp (- inx/a) {1 -exp (2лix/a)}
(14.37)
(14.36)
Симметрия в кристаллических твердых телах
31
рать циклические граничные условия. Возьмем кристалл, ребра которого
параллельны векторам основных трансляций а,-, причем вдоль каждого из
таких ребер имеется Nt элементарных ячеек, так что их полное число равно
N = Ы^гЫ3, Циклические граничные условия требуют, чтобы волновые функции
принимали одинаковые значения на противоположных гранях кристалла; так,
например,
ф (0 0 0) = ф (АЦ 0 0) = ф (0 N2 0) = ф (0 0 N3). (14.38)
Согласно теореме Блоха [формула (14.21)], это означает, что
exp (2nik1N1) - exp (2nik2N2) = exp (2niksNs) - 1,
т. e. возможные значения kip величин k{ даются выражением kip = p/Nh где
p-любое целое число. Таким образом, разрешенные значения вектора к
образуют решетку точек внутри обратной решетки, причем на базисном
векторе Ь, укладывается N; точек, так что в каждой элементарной ячейке
таких точек имеется N. Следует, однако, ограничить значения к первой
зоной Бриллюэна, имеющей тот же объем, что и элементарная ячейка. Тогда
полученный выше результат можно выразить и так: если в кристалле N
элементарных ячеек, то имеется в точности N разрешенных значений вектора
к, равномерно распределенных по зоне Бриллюэна. Поскольку Nj-очень
большие числа, при анализе объемных свойств не будет практически никакого
различия между непрерывными и дискретными значениями вектора к; требуется
лишь, чтобы они позволяли различать состояния.
Вернемся теперь к одномерному кристаллу (рис. 14.3, б), но будем считать
его конечным и содержащим N элементарных ячеек, так что у него имеется в
точности N бло-ховских состояний, соответствующих N значениям k в каждой
зоне п. В каждое из таких состояний можно поместить по два электрона с
противоположно направленными спинами; тогда в каждой зоне будет 2N
электронов. Если у атомов твердого тела имеется лишь один валентный
электрон (таков, например, натрий), то кристалл с N атомами будет иметь N
валентных электронов, которые в основном состоянии займут низшие N
