Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
одночастичных состояний и, таким образом, лишь наполовину заполнят первую
зону. Если же у атома два валентных
32
Глава 14
электрона, то в основном состоянии все одночастичные состояния первой
зоны будут заняты. При наложении электрического поля ток пойдет лишь
тогда, когда некоторые электроны могут быть ускорены, т. е. переведены в
более высокие состояния, бесконечно мало отличающиеся по энергии от
исходных состояний. В случае атомов с одним валентным электроном
(например, атомов натрия) это возможно, поскольку непосредственно над
высшим занятым состоянием имеются и незаполненные электронные состояния.
В этом случае мы имеем металл ((проводник). В случае же атомов с двумя
валентными электронами (например, магния) нижняя зона полностью заполнена
и ближайшие незанятые состояния находятся на дне следующей (более
высокой) зоны, так что минимальная энергия, которую можно передать
электронам, равна ширине запрещенной зоны 2V1. Поэтому магний должен быть
диэлектриком. К сожалению, такой вывод не согласуется с данными
эксперимента, но причина здесь в том, что мы взяли одномерную модель.
При трехмерном подходе мы получим запрещенные зоны во всех точках границы
трехмерной зоны Бриллюэна, но они будут возникать при разных значениях
энергии. Поэтому, если только запрещенные зоны не будут •очень широки,
может вообще отсутствовать какая-либо область энергий, которая всегда
целиком приходилась •бы на запрещенную зону. Потому-то кристаллы,
состоящие из атомов с двумя валентными электронами, не всегда оказываются
в действительности диэлектриками (как должно быть в одномерной модели).
Поясним примером в двумерном случае. Изобразим зоны энергии почти
свободных электронов, даваемые формулой (14.26) для прямоугольной
решетки, выбрав вектор к сначала вдоль оси х, а затем вдоль оси у (рис.
14.4, где принято = 3/2а2)- [Очевидно, что для такой системы не будет
существовать энергетической щели между первой и второй зонами, поскольку
щели на х~ и ^-границах зоны Бриллюэна возникают при энергиях &аяа/2Л4а?
и Ааяа/2Ма1 (задача 14.3) и, как явствует из рис. 14.4, разница между
этими значениями, вообще говоря, велика по сравнению с шириной щелей. На
рисунке показано также, каким образом могут в этом случае возникать
максимумы и минимумы энергии в точках, не совпадающих с центром или
границами зоны
Симметрия в кристаллических твердых телах 33
и соответствующих пересечениям кривых для свободных электронов. Такие
экстремумы играют важную роль при анализе возбуждений электронов из одной
зоны в другую (междузонных переходов), но здесь мы не будем
останавливаться на этом вопросе (см., например, книгу [2]).
Рис. 14.4. Энергетические зоны для прямоугольной кристаллической решетки
с а1 = 3/2а2 в приближении почти свободных электронов.
Пунктиром показаны параболы для свободных электронов.
Более полное представление о зависимости s (к) можно получить, изображая,
как обычно делают, сечения поверхностей равной энергии в виде семейства
двумерных кривых в первой зоне Бриллюэна для каждой энергетической зоны.
Первые две энергетические зоны для сис-
34
Глава 14
темы, изображенной на рис. 14.4, показаны на рис. 14.5; изоэнергетические
кривые ясно указывают на то, что максимумы на рис. 14.4 расположены при
значениях_k = = ±5/9Я/Й2. kx = 0.
лической решетки, а - первая зона; б - вторая зона. Пунктиром показаны
окружности для свободных электронов.
В. Приближение сильной связи
Модель почти свободных электронов (соответствующая приближению слабой
связи), рассмотренная в п. А, была пригодна для валентных электронов в
кристалле. Но если нас интересуют волновые функции электронов внутренних
оболочек, т. е. "остовные" состояния атомов, то волновые функции
свободных электронов будут, очевидно, плохим исходным приближением. Для
внутренних электронов волновые функции должны выглядеть во многом подобно
орбиталям свободного атома; на них лишь незначительно повлияет
взаимодействие с соседними атомами. Отсюда следует, что мы могли бы
использовать подход теории возмущений, рассматривая в качестве исходных
функций состояния свободного атома, а межатомное взаимодействие-в
качестве возмущения. Разумеется, в этом случае понадобится теория
возмущений для вырожденного уровня, поскольку каждому атомному состоянию
уп1т (г) и каждому узлу п будут соответствовать вырожденные атомные
орбитали
Симметрия в кристаллических твердых телах
35
Фпы (г-п)- Влияние взаимодействия проявится в том, что оно смешает
вырожденные состояния и образует энергетическую зону таких состояний,
причем разброс энергий будет зависеть от интенсивности взаимодействия.
Это явление иллюстрируется на рис. 14.6, где показана зона очень малой
ширины для глубоко лежащих "остов-ных" состояний, сильно экранированных
внешними оболочками от влияния соседних атомов. На том же рисунке
показано значительно большее расщепление состояний, лежащих выше по
энергии; в конечном счете соответствующие энергетические зоны могут
