Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вектор Ryn + m попадает в узел решетки, если п и m-тоже узлы решетки;
таким образом, произведение (14.71) содержится в наборе (14.70).
Рассмотрим частный случай закона умножения (14.71): произведение чистого
поворота на трансляцию; очевидно, что эти операции не коммутируют друг с
другом. Действительно, полагая ш = 0 и R, = E (единица группы), имеем
R/P (n) = {Ry-, 0}{Е, n} = {Ry, Ryn} = P(Ryn)Ry, (i4.72)
что можно записать также в виде
P(n)Ry = RyP(Rj1n), (14.73)
;S2
Глава 14
Таким образом, группа Ъ не является прямым произведением группы S' на
точечную группу. В качестве другого частного случая соотношения (14.71)
выведем выражение для обратного элемента
l{Rlt -RГ1*!}, (14.74)
определив, при каком выборе Ry и ш мы получим единичный элемент {Е, 0} в
правой части равенства (14.71).
Хотя R,- относится к поворотам вокруг узла решетки, расположенного в
начале координат, в группу Ъ входят также повороты вокруг других узлов,
поскольку произведение Р (п) R,P ( п) соответствует повороту R, вокруг
узла решетки п (задача 14.6), а не вокруг начала координат. Более того,
для некоторых решеток в группу % входят повороты вокруг точек, не
совпадающих с узлами решетки. Например, в двумерной квадратной решетке
для поворотов в плоскости ху можно доказать, что операция '{R0(jt/2), -aj
представляет собой поворот Rz(nj2) вокруг точки (Vs. 1/2> 0) в центре
ячейки. Аналогичным образом можно построить отражения в плоскостях,
проведенных через биссектрисы ячеек решетки.
В некоторых кристаллах могут существовать дополнительные операции
симметрии, не имеющие вида (14.70). К их числу относятся так называемые
винтовые перемещения и скользящие отражения; они представляют собой такие
комбинации трансляций и поворотов, в которых отдельные преобразования не
являются операциями симметрии кристалла. Мы не будем далее
останавливаться на тех более широких группах, которые получаются в
результате включения подобных операций, а отошлем читателя к работам [5,
6]. Это не уменьшит значения полученных нами результатов; нужно лишь
иметь в виду, что в некоторых кристаллах могут встретиться добавочные
вырождения, которые не объясняются нашей теорией. Рассматриваемую нами
группу Ъ принято называть сим-морфной, а более общую пространственную
группу, содержащую винтовые оси или плоскости скольжения,- несимморфной.
Включение операции обращения времени также расширит пространственные
группы во многом аналогично тому, как это имело место для точечных групп
(гл. 9, § 8). ;В частности, для магнитных кристаллов мы получим так
Симметрия в кристаллических твердых телах
53
называемые магнитные пространственные группы, в которых обращение времени
возникает в комбинации с поворотом или трансляцией и само по себе не
является элементом симметрии.
Например, во многих антиферромагнетиках трансляция на вектор решетки
должна сопровождаться обращением времени для обращения направления
спинов. Мы также не будем здесь рассматривать эти магнитные
пространственные группы; их полное описание можно найти в книге Брэдли и
Крэкнелла (см. литературу к гл. 9).
А. Неприводимые представления пространственных групп
ЕслиТ-некое представление пространственной группы
то оператор, соответствующий элементу группы {R,-, п}, обозначается через
Т (R;, п). Эти операторы должны удовлетворять тем же самым соотношениям,
что и сами элементы, так что, согласно определению (14.70), можно
написать
T(R<> n) = T(n)T(R;) (14.75)
и, в частности, согласно (14.73),
T(n)T(R,.) = T(RI.)T(Rr1n). (14.76)
В пространстве функций операторы представления определяются обычным
образом; они должны удовлетворять соотношению
Т (R/, n)<p(r) = <p({R,., п}-1 г) = ф (Rf'r-R^n), (14.77)
которое выводится с учетом равенства (14.74). Мы будем, в частности,
рассматривать действие преобразований
группы на базисные векторы е^, которые выбираются так, чтобы они
преобразовывались неприводимо относительно подгруппы трансляций Ж, и
потому снабжены индексом к. Приведем несколько важных результатов.
Прежде
всего действием простой трансляции из выражения (14.11) получаем,
учитывая определение вектора еь,
Т (Е, n) ek =Т (n) ek =T(k) (n) ek =ехр (-tk-n)ek. (14.78) Действием
более общего преобразования {R,-, п} мы, ис-
54
Глава 14
пользуя формулу (14.76), получаем новый вектор ek = Т (R" n) ek = Т (п) Т
(R,) ek = Т (R,) Т (R^njet, откуда ek = T(R,., n) ek = exp (-ik • R^n) Т
(R,-) ek =
= exp (-i'R;k ¦ n) T (Ry) ek. (14.79)
Рассмотрим теперь действие чистой трансляции на этот новый вектор:
Т (Е, m) ek = T (Е, m)[T(R,., n)ek] = T(R/, m + n)ek =
= exp [-i'R,k • (n + m)] T (R,) ek = exp (-iR,k ¦ m) x
x[T(R" n) ek] =
= exp (-iR,k-m)ek. (14.80)
Последнее выражение показывает, что вектор ek преобразуется неприводимо
поддействием подгруппы трансляций и принадлежит представлению T<R<k>. (Мы
пользуемся здесь общим методом, излагаемым в гл. 20, § 3.)
Эти общие результаты мы используем теперь при построении и классификации
