Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
параметры вращения R (а) в обозначениях гл. 7, § 4. Следовательно, общий
элемент группы можно записать в виде P(p)R(a), а^его действие на вектор г
дается выражением
Р (Р) R.(а)/ = R|(a);r + р (15.4)
с учетом формулы (15.2). Отметим, что сдвиги и вращения не коммутируют
(геометрически это очевидно). В самом деле, обращая порядок операторов в
произведении (15.4), получаем R (а) Р (р) г = R (а) г + R (а) р.
Отсюда следует, что
Р (p);R (а) = R (а) Р (R-1 (а) р). (15.5).
Последний [результат показывает, что без ограничения общности можно
рассматривать лишь элементы группы вида Р (р) R (а), поскольку равенство
(15.5) позволяет менять порядок сомножителей.
Следуя общему определению преобразования функции [формула (3.37)],
определим в пространстве функций оператор Т(р, а):
Т (р, а) ф (г) = ф {[Р (р) R (а)]-1 г} = ф {R"1 (а) Р"1 (р)г} =
= Ф{Р-1 (а) (г р)} (15.6)
в соответствии с обозначениями гл. 14, § 9.
В. Неприводимые представления
Поскольку вращения и сдвиги не коммутируют, группа ?3 не есть прямое
произведение двух групп. Таким образом, задача перечисления неприводимых
представлений не тривиальна. Но то обстоятельство, что группа $3 содержит
абелеву подгруппу трансляций, позволяет применить для решения этой задачи
метод, аналогичный тому, который применялся в гл. 14, § 9 для
пространственных групп.
Оператор представления, соответствующий элементу группы P(p)R(a), мы
обозначим через Т (р, а). По определению операторы Т (р, а) должны
удовлетворять тому же закону умножения, что и соответствующие элементы
Пространство и время
69
группы. Таким образом, из равенства (15.5) следует, что Т(р, а) = Т(р,
0)Т(0, а) = Т(0, a)T(R-1(a)p, 0). (15.7)
Для построения представлений группы нам понадобится следующее свойство
вращений: произвольное вращение R может быть представлено в виде R =
RXyRz, где R^-вращение вокруг оси г, a R*y-вращение относительно оси,
лежащей в плоскости ху. Для доказательства указанной факторизации
рассмотрим вектор k = Rk", где k0 - вектор, направленный вдоль оси г.
Определим теперь Rxy как (единственное) вращение относительно оси,
лежащей в плоскости ху, которое переводит к" в к, т. е. R*yk0 = k. Из
этого определения получаем|
R-lRk - R-lk = к ''ху14 Л0 14 ху 11
Таким образом, вращение Rоставляет вектор к0 на месте и, следовательно,
является вращением вокруг оси г: R'y1 R = R2. Отсюда следует желаемый
результат:
R = R^RZ. (15.8)
Теперь мы можем получить представления группы <§3, сделав следующие шаги
(см. также гл. 20, § 3).
Шаг 1. Выберем базисный вектор |к>, преобразующийся 'по неприводимому
представлению Т(к> подгруппы трансляций:
Т(р, 0) | к> = ехр (- гк-р) | к>. (15.9)
(В данной главе базисный вектор удобнее обозначать через | к> в отличие
от обозначения еь, применявшегося в гл. 14, § 9.)
Шаг 2. Покажем, что вектор Т (0, а) | к> преобразуется по представлению
T<R<a>k> подгруппы трансляций. Действительно, с учетом соотношений (15.7)
и (15.9) получаем
Т(р, 0) (Т (0, а) | к" = Т(р, а) | к> =
= Т (0, а)Т (R-1 (а)р, 0)jk> =
= Т (0, а)ехр[-ik-R-1 (а) р] | к> =
= exp [- /R (а) к р] (Т (0, а)|к". (15.10)
Отсюда следует, что если базисный вектор | к> принадле-
жит пространству представления Е, то тому же простран-
70
Глава 15
ству принадлежат все векторы |к'>, такие, что |k'>=s =|R(a)k>, т. е. все
векторы |к'> с |к'| -|к|.
Шаг 3. Фиксируем теперь некоторое направление (скажем, направление вдоль
оси г) и обозначим вектор, определяющий это направление, через к0,
вектор, преобразующийся по представлению подгруппы трансляций Т^"*, через
|к0> и вращение относительно вектора к0 через R(a"). Из формулы (15.10)
следует, что вектор Т (0, а0) к0> преобразуется по отношению к
трансляциям как к0>, поскольку R (а0) k0 = k0. Таким образом, множество
базисных векторов пространства представления Е, обозначенных нами через |
к0>, инвариантно по отношению к вращениям вокруг оси z и, следовательно,
векторы этого множества могут быть классифицированы по неприводимым
представлениям группы 312 вращений вокруг фиксированной оси. Это значит,
что можно ввести более детализированное обозначение | к0/л> вместо | к0>
для базисных векторов пространства представления. Здесь индекс m нумерует
представления группы 312 (гл. 7, § 3), т. е.
Т(0, а0) | k0m> = exp (- lna0) | к0ш>. (15.11)
Шаг 4. Теперь мы можем построить представление Е. Оно будет определяться
двумя величинами: | к | = | к01 и т. Начав с одного базисного вектора |
k0m>, образуем множество векторов вида
| k/n> = T(0, a(k))|k"m>, (15.12)
где к-произвольный вектор длиной | k |, a R(a[(k))-однозначно
определенное вращение вокруг оси а (к), лежащей в плоскости ху, которое
переводит к0 в k: R (а (к)) к0 = к. Тильда над вектором а указывает, что
этот вектор перпендикулярен вектору к0, т. е. лежит в плоскости ху. Таким
образом, пространство представления содержит бесконечное множество
базисных векторов, характеризующихся одними и теми же значениями т и
