Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пространства и обращения времени, рассматриваются в § 3, 5 и 6. О
физическом смысле преобразований кратко говорится в § 2, а физическую
интерпретацию неприводимых представлений мы откладываем до двух
заключительных параграфов. Первый параграф данной главы посвящен
евклидовой группе, объединяющей повороты и сдвиги. Эта группа, будучи
группой движений трехмерного пространства, строго говоря, не относится к
теме данной главы, и с точки зрения физики она также представляет
незначительный интерес. Мы начинаем именно с нее по следующим причинам.
Во-первых, эта группа во многом подобна группе Пуанкаре, но в некоторых
отношениях проще ее. Во-вторых, при изучении группы Пуанкаре нам
встретится группа, изоморфная двумерной евклидовой группе, и результаты §
1 пригодятся нам. Читатель, интересующийся прежде всего четырьмя
измерениями, может перейти сразу к § 4.
§ 1. ЕВКЛИДОВА ГРУППА &3
~ В "предыдущих главах мы довольно подробно исследовали некоторые
вопросы, связанные с вращениями и отражениями, а в гл. 14 описывали
симметрию кристаллов при помощи конечных сдвигов и поворотов-
"пространственных групп". Теперь мы переходим к изучению непре-
66
Глава 15
рывной группы сдвигов и вращений, следуя методу, использовавшемуся в § 9
для пространственных групп. Еще раз напомним, что данный параграф целиком
посвящен трем измерениям.
А. Трансляции
Рассмотрим сначала г руппу трансляций в одном измерении. Эта группа имеет
бесконечное число элементов Р (?), соответствующих сдвигам вдоль оси х: Р
(1)х = х + 1, где-оо<|<оо. Группа трансляций-это абелева группа с
групповым законом умножения Р (gj) Р (i2) = Р (Ех S2)-Этот закон
умножения совпадает с законом умножения группы (гл. 7, § 3).
Следовательно, неприводимые представления группы трансляций одномерны и
имеют вид
Тш (Е) = ехр (- ikQ (15.1)
для произвольного k. Из-за отсутствия периодичности по переменной ?
величина k не обязана быть целым числом. Но для того, чтобы представление
Tlfc) было унитарным, величина k должна быть действительной.
Преобразование функций определяется [формула (3.7)] как
ф' (*) = Т (?) ф (х) = ф (Р (- ?) х) = ф (* -?),
так что функция ф (х) = ехр (ikx) преобразуется по неприводимому
представлению Vю. В силу сказанного в гл. 7, § 3 инфинитезимальный
оператор имеет вид Рх = -д/дх.
Обобщение на трехмерный случай тривиально ввиду коммутативности всех
сдвигов. Таким образом, трехмерная группа трансляций есть прямое
произведение трех одномерных групп трансляций по осям х, у и г. Общий
элемент группы обозначается через Р(р) и определяется следующим образом:
Р(р)г = г + р, (15.2)
где г - радиус-вектор точки в т ехмерном пространстве. Записав вектор р в
видер = (?, rj, ?), мы убеждаемся, что группа трехмерных трансляций имеет
три параметрами, следовательно, имеются три инфинитезимальных оператора
Рх, Ру и Р2, которые на пространстве функций ф (г) даются
Пространство и время
67
выражениями -д/дх, -д/ду и --д!дг. Неприводимые представления являются
очевидным обобщением неприводимых представлений, определенных равенством
(15.1); они задаются тремя числами kx, ky и kz, образующими вектор к:
Т(к) (р) = ехр (-ik-p). (15.3)
Если гамильтониан квантовой системы трансляционно инвариантен, то
инфинитезимальные операторы Р*, Ру и Рг представляют собой сохраняющиеся
величины, а именно три компоненты полного импульса системы. В том виде, в
каком они записаны здесь, эти операторы, будучи инфи-нитезимальными
операторами унитарного преобразования, являются антиэрмитовыми. Но их
можно сделать эрмитовыми, умножив на i. Размерность этих операторов также
не совпадает с размерностью импульса, что можно исправить добавлением
множителя ft. В действительности физические операторы импульса р?
определяются как р? = = ifiPg. Причина, по которой эти операторы
связываются с импульсом, состоит в том, что трансляционная инвариантность
системы приводит к сохранению полного импульса (гл. 16, § 1).
Так как неприводимые представления группы трансляций одномерны,
трансляционная инвариантность не приводит к вырождению, а проявляется в
том, что собственные функции гамильтониана нумеруются индексом к
неприводимого представления Тш. Из выражения (15.3) для Т(*> (р) следует,
что собственное значение инфинитезималь-ного оператора в состоянии с
данным к есть -ikq. Таким образом, импульс дается выражением Й-k. Наличие
любого потенциала V (г), зависящего от координаты г (кроме тривиального
случая Е = const), нарушает трансляционную инвариантность. Следовательно,
в случае одной частицы трансляционная инвариантность имеет место только
при условии, что частица движется свободно. Системы из более чем одной
частицы с потенциалом взаимодействия вида V (гх - г2) очевидным образом
трансляционно инвариантны, и, следовательно, полный импульс таких систем
сохраняется.
68
Глава 15
Б. Групповые операторы
Евклидова группа $3 в трех измерениях порождается произведениями
собственных вращений R (а) и трансляций Р (р). Здесь а =(ах, ау, а2) -
