Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
при любых ех и е2. Для четырехмерных векторов мы примем обозначение е,
чтобы отличать их от векторов в обычном пространстве, для которых
сохраним обозначение е. Скалярное произведение (15.21) обозначается
просто как е^вг. Преобразования Лоренца нас интере-
Пространство и время
79
суют потому, что, как следует из эксперимента, физические законы
инвариантны относительно этих преобразований. Общий знак в определении
(15.21) несуществен, но разница в знаках пространственных и временного
слагаемых в выражении (15.21) играет решающую роль. Если бы эти знаки
были одинаковы, то соответствующей группой была бы группа 5i4, не
являющаяся группой инвариантности для законов природы.
Скалярный квадрат вектора ё е =-х2 - г/2 - z2-f-c2^2 есть мера его
"длины", т. е. "интервала" между событиями, соответствующими его концам.
Интервал определяется как (ее)1/г. Из о ределения (15.21) видно, что
скалярный квадрат вектора может иметь любой знак. Следовательно, интервал
может быть как действительным, так и мнимым. По очевидным причинам
действительный интервал называют времениподобным, а мнимый -
пространственноподобным. Интервал между событиями, соответствующими
векторам ех и е2, определяется как ((ех-e2) (ej-е2))1/2. Из равенства
(15.22) следует, что преобразования Лоренца не меняют интервала.
Обозначим через ех, еу, ег, ef векторы (1, 0, 0, 0) и т. д. Тогда из
определения (15.21) следует, что ё*-"ех = еу еу - ег• ег = -1, a eret=l.
Введем матрицу g с матричными элементами = ГДе i - x, у, z, t\
0 0 0ч
1 0 о\
0-1 0 ]'
0 0 1/
Матричные элементы оператора L определяются соот-
ношением Le,- =s 2] Lji еу-, так что eyLe,- = g/y. Lfi.
Произвольный вектор е = 2е.-е, с компонентами е, опе-
?
ратор L переводит в вектор е' = Le = с компо-
*. i
нентами е;'= Пусть в базисе е; вектор е имеет
i
компоненты е,-. Тогда его компоненты в базисе e,- = Le/
80
Глава 15
таковы:
Из определяющего свойства преобразований Лоренца [формула (15.22)]
следует соотношение
где L+ - транспонированная матрица L. Так как д2=1, из (15.23) следует,
что gL+g = L-1. Последнее соотношение отличается от определения
ортогональной матрицы (гл. 3, § 5) наличием матрицы д. Нетрудно показать,
что L-1 тоже является преобразованием Лоренца и что множество
преобразований Лоренца образует группу
Из-за необычной формы (15.21) скалярного произведения, приводящей к тому,
что "метрика" задается не единичной матрицей, вышеприведенные формулы
отличаются от соответствующих формул гл. 3, § 7 наличием множителей gn-
Если для вектора е ввести так называемые козариантные компоненты е'
=guei> то можно обойтись без множителей (компоненты е,- называются
контравариантными). Тогда все множители будут включены в определение
компонент е!'. Например, формула для скалярного произведения принимает
вид
причем в последнее выражение входят как ковариантные, так и
контравариантные компоненты векторов. Мы предпочитаем не вводить
дополнительных усложнений и будем всегда пользоваться контравариантными
компонентами с нижними индексами, преобразующимися по приведенным выше
формулам.
Собственные и несобственные преобразования
В гл. 7, § 4 мы, основываясь на знаке определителя матрицы
преобразования, разделили вращения на собственные и несобственные. Для
преобразований Лоренца
^ к i ^ I ; йф I ¦
k, I
В матричной форме оно принимает вид
g = LtgL,
(15.23)
(задача 15.2).
1
Пространство и время
81
также имеет место подобное разделение, но имеются уже не два, а четыре
типа преобразований. Эти типы преобразований различны в том смысле, что
от одного к другому нельзя перейти непрерывным образом. Из равенства
(15.23) следует, что
(det L)2 = 1.
Это приводит к разделению преобразований Лоренца в соответствии со
значением detL = ±l- Далее, если написать явное выражение для матричного
элемента в формуле (15.23), стоящего на пересечении четвертой строки с
четвертым столбцом, то получим -L\t-Lyt-L\t-\-Utt= = 1, так что
L2tt=\+Llt + Llt + Llt.
Поскольку величины Ltj действительны, из последнего равенства следует,
что 1. Таким образом, Ltt может
принимать лишь значения, лежащие в двух отдельных друг от друга областях:
1 и Ln ^-1. Стало быть,
имеются четыре типа преобразований Лоренца, определенных следующим
образом:
1) detL = 1, 1; содержит тождественное преоб-
разование,
2) detL = - 1, Ltt^l; содержит пространственною инверсию I,
3) det L = -1, LU^L-1; содержит обращение времени I*,
4) det L = 1, Lu ^-1; содержит инверсию пространства-времени ll;.
Преобразования типа 1 непрерывно связаны с единицей I! называются
собственными. Они образуют группу, которую мы назовем группой Лоренца 2.
Расширенные группы Лоренца получаются добавлением к преобразованиям типа
1 преобразований типа 2 или 3. Мы будем обозначать эти группы через 2 s и
21. Объединение всех четырех типов дает еще большую группу, которую мы
обозначим через 2si. Преобразования с Ltf^\ иногда называют ортохронными,
а чтобы отличать их от преобразований, включающих сдвиги, их называют
