Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Для этого нет необходимости вводить новые внутренние координаты.
Спиновая степень свободы описывается (2s-f- 1)-мерным пространством
представления D(s) группы внутренних вращений. В покое 'такая частица
будет тривиально описываться представлением Е<°> 5>. Но в случае
движущейся частицы, как и в случае относительного углового момента двух
частиц, для преобразований группы <§3 существенна лишь проекция спина на
направление движения. Инфинитезимальный оператор X для частицы со спином
s равен сумме орбитальной части гхР и спиновой части Х^, которая опре-
76
Глава 15
деляется как оператор в (2s+ 1)-мерном пространстве, описывающем спин
частицы (гл. 8, § 4).
Е. Скалярное произведение и нормировка базисных векторов
Этот небольшой раздел можно пропустить, так как его результаты в
дальнейшем использоваться не будут. Но нам кажется, что наличие
континуума базисных векторов в пространствах неприводимых представлений
группы <?3 требует дополнительных комментариев. При изложении в гл. 4
общей теории, а также во всех встречавшихся нам ранее физических
приложениях мы рассматривали лишь конечномерные неприводимые
представления и соответствующие операторы определялись конечными
матрицами. Теперь мы впервые познакомились с неприводимыми
представлениями E6ki>m>, имеющими бесконечную размерность. Пространства
этих представлений порождены континуумом базисных векторов j km>,
соответствующих различным направлениям вектора к. С аналогичной ситуацией
мы встретимся в § 4 j при изучении группы Пуанкаре.
Рассмотрим векторы [ф>, принадлежащие пространству некоторого
фиксированного неприводимого представления. В случае конечномерного
представления мы можем написать
1М" = 2 (15.16)
i= I
где |t>-базис'в пространстве представления, а ф,-- безразмерные величины.
Мы определяем скалярное произведение векторов | ф> и | ф> соотношением
N
<ф|ф> = 2 фМ><> (15.17)
г=1
из которого следует, что
<i|/> = V (15.18)
Линейное преобразование Т является унитарным относительно такого
скалярного произведения, если <Тф|Тф> = =<Ф | ф> для всех |ф> и |ф>. Для
'представлений, по-
Пространство и время
77
добных представлению пространство которых
имеет непрерывный базис | кт>, вместо (15.16) положим
| -ф> = J 4>(k)|km>dQk, (15.19)
где интегрирование ведется по множеству направлений вектора k, а ф (к)-
функция, зависящая от направления вектора к. В этом случае мы определим
скалярное произведение следующим образом:
<Ф 1'Ф>= $ Ф* (k) ф(к)^йк. (15.20)
Зеперь мы можем убедиться [в том, что представление Ed к I. , заданное
соотношением (15.13), унитарно по отношению к скалярному произведению
(15.20). На основании формул (15.13) и (15.19) имеем
| 7ф> = 5*Ф(к)'ехр'(-imc-tk'"p){|jk'/n>dQk =
= ^ф (R-1k') exp (-imc-ik' -p)) k'm>dQk-.
Здесь мы воспользовались тем, что, так как k' = R(a)k и вектор а
фиксирован, интеграл по d?iк можно заменить интегралом по dQks т. е.
якобиан перехода равен 1. Изменив обозначение переменной интегрирования,
можно написать
||Тф> = ^ i|;(R~1k)'exp'(-imc-гк - р)!| km>[dQk-
Сравнивая это) выражение 'с (15.19)*и учитывая определение (15.20),
получаем
<Тф |Тф> = S|vV(R"lk)> (R"1kJSS!!^'
= ^ср*(к)ф(к) с!Йк = <ф|ф>.*
Аналог равенства (15.18) можно написать только с использованием 8-функции
Дирака угловых переменных кик'. Отметим, что в определение скалярного
произведения (15.20) входит интеграл не по всему импульсному
пространству, так как величина | к | остается постоянной.
78
Глава 15
§ 2. ГРУППА ЛОРЕНЦА X
Показав, каким образом трансляции и вращения объединяются в рамках
евклидовой группы, мы теперь на время забудем о трансляциях и займемся
обобщением группы вращений 5?3 на четырехмерное пространство-время. Мы
определяем это четырехмерное пространство, ставя в соответствие каждому
событию точку с четырьмя координатами (х, у, г, ct). Здесь (х, у, г)-
пространственные координаты события, a t-момент времени, связанный с этим
событием; с - скорость света. Таким образом, все четыре координаты имеют
размерность длины. Мы будем характеризовать точку с координатами (х, у,
г, ct) вектором е = (х, у, г, ct), ^соединяющим начало координат (0, 0,
0, 0) с этой точкой. Напомним, что событие, соответствующее началу
координат четырех-мерного пространства,- это событие в точке (0, 0, 0),
произошедшее в момент времени ^ = 0.
А. Преобразования Лоренца
В случае группы вращений мы имели дело с трехмерными векторами г = (х, у,
г) и преобразованиями г' = R (а) г, сохраняющими расстояния и углы, т. е.
сохраняющими скалярное произведение г1-г2 = х1х2-]-у1у2+ + г1г2 любых
двух векторов ^ и г2. В случае группы Лоренца объектом исследования будут
линейные действительные преобразования e's=Le четырехмерных векторов е =
(х, у, г, ct), сохраняющие скалярное произведение
ех 'e2 = - x1x2-y1y11~z1z2 + c2t1tz. (15.21)
Такие преобразования называются преобразованиями Лоренца. По определению
они удовлетворяют условию
e1'-e2 = Le1-Le2 = e1-e2 (15.22)
