Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 25

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 138 >> Следующая

длины вектора к и различающихся направлением этого вектора. Чтобы
показать, что это множество инвариантно относительно действия группы <?3,
рассмотрим результат применения оператора
Пространство и время
71
представления к произвольному базисному вектору | к/п>: Т(р, а) | к/л> =
Т (р, 0) Т (0, а) Т (0, а (к)) | к0/п> =
= Т(р, 0) Т (0, а(к'))Т (0, с)|к"/п> =
= Т(р, 0)Т(0, а(к'))ехр(- imc)\k0m> =
= ехр(-imc) Т (р, 0)|к'т> =
= ехр (- imc) exp (- /к' -р) | к'ту. (15.13)
При выводе соотношений (15.13) мы применили формулу
(15.8) к вращению R (a) R (а (к)):
R (a) R (а (к)) =R (а (к')) Rz (с). (15.14)
Соотношением (15.14) определяются вращения R(a(k'))n R*(c). Вектор к'
определяется из соотношения к' = = R(a(k')) к0) что с учетом равенства
(15.14) эквивалентно определению k' = R(a)k. Таким образом, по данным а и
к можно определить к' и с, так что выражением (15.13) фактически
определяются матричные элементы представления Е.
Путем таких же рассуждений, как и в гл. 7, § 4, п. Б, где шла речь о
группе 523, можно показать, что для неприводимости представления Е
необходимо, чтобы пространство представления Е содержало единственный
базисный вектор с параметрами к0, т. Таким образом, неприводимые
представления группы <§3 даются формулой (15.13). При построении
неприводимого представления мы использовали вектор к0, направленный вдоль
оси z. Но, как нетрудно показать, представления, определяемые разными
векторами к0, эквивалентны, если длина этих векторов одинакова.
Следовательно, направление вектора к0 несущественно с точки зрения
параметризации неэквивалентных неприводимых представлений группы <В3, и
мы будем пользоваться обозначением Е(1кь т> для неприводимого
представления, определяемого векторами длиной |к|.
В качестве примера рассмотрим представление Е<1k I- 0). По формуле
(15.12) это представление можно построить из функции exp(i|k|z),
зависящей от координаты одной частицы. Базисные векторы представления
даются выражением | k0> = exp (ik-r), где к пробегает множество векторов
длиной | к |. Чтобы получить представления Ed к |, т); необходимы по
меньшей мере две частицы. В этом
72
Глава 15
случае в качестве базисного вектора | к "ту можно взять функцию exp[/|k|
(z1 + z,)]{(x1-+
Метод, примененный здесь для анализа неприводимых представлений группы
S3,- это еще один пример общего метода "малой группы" (гл. 14, § 9, п.
А). В нашем случае малой группой является группа 5i2, оставляющая на
месте вектор к0, а "звезда" состоит из бесконечного множества точек.
:Этот же метод мы применим позже при изучении группы Пуанкаре, чем в
основном и объясняется то, что мы столь подробно рассматриваем здесь
группу S3.
В случае ко = 0 схема, изложенная выше, неприменима, так как на четвертом
шаге нашего построения мы не получим ненулевых векторов к. Однако в этом
случае пространство представления трансляционно инвариантно и
неприводимые представления группы S3 совпадают с неприводимыми
представлениями группы 5i3 (гл. 7). Мы обозначаем эти представления через
Е(0,/) = D (7>. Таким образом, неприводимые представления группы <§3
конечномерны лишь при к = 0.
Так как группа 5?3 является подгруппой группы S3, в принципе можно
различать неприводимые представления группы <§3 по индексу /,
параметризующему неприводимые представления группыЫ,3. Но это гораздо
сложнее, нежели метод, изложенный выше, основанный на подгруппе
трансляций. Отметим, что, так как вращения и сдвиги не коммутируют,
невозможно одновременно использовать индексы к и /. В квантовой механике
это эквивалентно тому, что если система обладает (^-инвариантностью, то в
ней сохраняются импульс и угловой момент, но в силу неком-мутативности
соответствующих операторов эти величины не могут быть измерены
одновременно. Наш выбор базиса в пространстве представления E<lkl-m)
соответствует одновременной диагонализации импульса и проекции на него
углового момента. Такой базис называют иногда спиральным.
Г. Группа S2
Здесь мы скажем несколько слов о двумерной евклидовой группе S2- Сама по
себе эта группа не представляет особого интереса, но она будет
использована нами ниже (§ 4) при построении неприводимых представлений
группы Пуанкаре. Как и в случае группы <^3, выберем
Пространство и время
73
базисные функции, удовлетворяющие двумерному аналогу равенства (15.9).
Теперь уже ни один элемент группы, кроме единичного, не оставляет
двумерный вектор к на месте. Следовательно, неприводимые представления
группы ?2 определяются величиной | к | и обозначаются через E(ikl>.
Исключение составляет случай к = 0, так как при этом все векторы
пространства представления Е трансля-ционно инвариантны и, следовательно,
группа ?3 эффективно сводится к группе 5?2. Таким образом, при к = 0 все
неприводимые представления группы ?2 сводятся к представлениям Т(т)
группы (гл. 7, § 3, п. А). Мы будем обозначать эти представления через
Е(1Ь т\ отмечая тем самым, что к = 0.
Д. Евклидова группа в физике
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed