Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если гамильтониан физической системы инвариантен относительно полной
евклидовой группы, то обычные рассуждения показывают, что собственные
состояния гамильтониана можно классифицировать по неприводимым
представлениям E(ik|'m) и Е<0' Кроме того, в системе возможно вырождение.
Чтобы физическая система обладала ^з-инвариантностью, требуется
инвариантность гамильтониана по отношению не только к трансляциям, но и к
вращениям. Отсюда следует, что в случае одной частицы ^з-инвариантность
может иметь место только тогда, когда частица движется свободно. В этом
случае ее энергия дается выражением &2&2/2Л4, а волновая функция равна
exp(tk-r). Далее, как было отмечено выше, эта функция должна
соответствовать представлению ЕЧ k U о. Бесконечная размерность этого
представления соответствует бесконечному множеству направлений вектора к
с фиксированным модулем | к |. Физический смысл этого в том, что импульс
свободной частицы с фиксированной энергией может иметь любое направление.
Если рассматривать только одну классическую частицу, то другие
представления, такие, как E<iki-m> с т ф 0 и Е<0-/), не возникают.
Представление Е(°>/)( например, соответствовало бы покоящейся частице с
угловым моментом /. В случае же системы частиц представление Е<°Ч)
приобретает очевидный смысл: центр масс системы покоится, но ее угловой
момент равен j. Такие
74
Глава 15
представления с целыми / могут появляться при описании системы двух
частиц, потенциал взаимодействия которых имеет вид V (гх-г2).
Чтобы вполне оценить значение представлений Е(1Ы,"г) с тф<д, полезно
рассмотреть инфинитезимальные операторы группы <§3 и построить операторы
Казимира (гл. 7, § 5). Шесть инфинитезимальных операторов группы ^3-это
просто операторы Р*, Ру и Рг, соответствующие сдвигам, и операторы Хх,
Ху, Хг, соответствующие вращениям. Операторы Pq коммутируют друг с
другом. Перестановочные соотношения для операторов Xq даются формулами
(7.25), а коммутаторы Pq с Xq таковы [закон умножения (15.5), задача
15.1]:
FV = [Рх, XJ = P,, [Р", XJ--P,, (15.15)
причем остальные коммутаторы получаются циклической перестановкой
индексов. Оператор Р2 = Р| + Р^ + Р1 является, очевидно, инвариантом, т.
е. оператором Казимира. Из соотношений (15.15) следует, что оператор Р-Х
также коммутирует с операторами Xq и ?я и является вторым оператором
Казимира. (Оператор Х-Х не инвариантен относительно сдвигов.) В
неприводимом представлении любой оператор Казимира должен быть кратным
единичному. В .представлении E(lk|'m) мы имеем Р2=г-k2 и Р • X = -km.
Последний 'результат легко получить, применяя операторы Р2 и Р-Х к
базисному вектору \k0m> и используя формулу (15.11) при малых а".
Физический смысл этих двух операторов таков: первый из них определяет
величину импульса, а второй-проекцию углового момента на направление
движения. Если воспользоваться дифференциальными выражениями Рх --д/дх,
... и соотношением Х = гхР [формула (7.21)], справедливыми в случае одной
частицы, то сразу же видно, что Р-Х = 0, т. е. т - 0. В случае двух
классических частиц Рх = = = - д\дхх - д/дх2, ..., Х = г1хР1 + г2ХР2 =
=V2'(r1 + f2)x(P1-{-P2) + 1/2(ri-r2)x(Pi-Р2)- В последнем равенстве
величина X представлена в виде суммы внутренней и внешней частей. В
произведении Р-Х остается лишь внутренняя часть: Р • X =* 1/2 (Рх -+- Р2)
• (г* -r2) х X (Р1 - Р 2) •
Пространство и время
75
Таким образом, оператор Казимира Р-Х есть оператор проекции
относительного углового момента двух частиц на направление движения их
центра масс. В случае представления E<|k|-m> все состояния | k, т>
отвечают одному и тому же значению |к| абсолютной величины полного
импульса пары частиц; направление же этого импульса меняется от состояния
к состоянию. Проекция относительного углового момента на направление к
для состояния | к ту всегда равна т независимо от к. Для того чтобы
энергия системы зависела от т, гамильтониан должен содержать члены типа
Р-Х-типа скалярного произведения полного импульса на внутренний угловой
момент системы. Заметим, что величина внутреннего углового момента в
отличие от его проекции на направление к не входит в число параметров,
определяющих представление Е<|к|'т). Если (^-инвариантная система
находится в состоянии с внутренним угловым моментом /, то состояния с m =
l, I-1, ..., -I принадлежат разным представлениям и могут иметь разные
энергии. Т. е. инвариантность внутреннего движения системы относительно
вращений вокруг ее центра масс не следует из ^-инвариантности. (Для
того*чтобы понятие внутреннего углового момента можно было осмыслить с
точки зрения симметрии, необходимо перейти к группе Лоренца, включающей в
себя 'преобразования, которыми связываются системы, движущиеся
относительно друг друга с постоянной скоростью.)
Мы рассматривали только одну и две классические частицы. Обобщение на
случай произвольного числа частиц в принципе не представляет трудностей.
Можно, конечно, ввести спин частицы s так, как это было сделано в гл. 8,
