Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
даны
€0
Глава 14
в табл. 14.1, где ее неприводимые представления обозначены через Л,, .
..,Д6. Три атомные p-функции преобразуются по векторному представлению
(гл. 5, § 4), характер которого указан в последней строке таблицы.
Очевидно, что он сводится к сумме соответствующих характеров
представлений Aj и Д5 малой группы; заметим, что из трех p-функций рх
принадлежит представлению Д1; а пара ру и р2-представлению Д6 (напомним,
что ось х является осью четвертого порядка). Как и в формуле (14.39),
можно построить три блоховских состояния
<p<k) = 2exp(ik-n) <МГ -п)> (14.82)
п
где q = x, у, z; в рассматриваемом случае, когда вектор к лежит на оси х,
эти состояния преобразуются так же, как и p-функции, под действием малой
группы. Если эти состояния использовать далее в вариационном расчете (§
4, п. В), то можно прийти к выводу, что состояния Ф(к) и будут
вырожденными и принадлежащими представлению Г(А'к>, а состояние ф<.к>
принадлежит представлению Г<л'к>. Эти состояния не будут перемешиваться,
поскольку они принадлежат неэквивалентным представлениям.
Если при вариационном расчете использовать дополнительно блоховское
состояние ф5(к), образованное из атомного s-состояния и имеющее,
очевидно, симметрию Alf то оно, разумеется, будет смешиваться с
состоянием ф<,к). Тогда матричные элементы гамильтониана Н в том же
приближении ближайших соседей, что и в формуле (14.51), будут иметь вид
Hss = ei + vss (0) + 2VSS (0 0 a) (2 + cos kxa),
H*x = 2iVsx (a 0 0) sin kxa,
Hxx = e/> + V*x (0) + 2 [2VXX (0 0 a) + (a 0 0) cos kxa],
H)y = Я* =bp + Vxx(0) + 2 [Vxx (0 0 a) +
+ Vxx (a 0 0) +VXX (0 0 a) cos kx a].
Обозначения, имевшиеся в формуле (14.51), здесь дополнены обозначениями
вида
Кх (р) = $ Ф* (г-р) - [V (г) - Тат (/•)] ф* (г) dr
Симметрия в кристаллических твердых телах
6В
и учтены соотношения
Vxx (0 0 а) = Vxx (0 а 0) = Vyy (а 0 0) = V уу (0 0 а),
VXxia О 0) = КЦЦ (0 а 0),
Vxx (0) = Vyy (0), Vsx (0 а 0) = Vsx (0 0 а) - 0.
Матрица размерности 2x2, соответствующая смеси s- н p-состояний, может
быть теперь диагонализирована. Мы не будем приводить здесь детальные
выражения для энергий, а представим результаты графически (рис. 14.12).
Как видно из рисунка, при k -> 0 энергии для Д6 и Аг
сходятся в одну точку, а волновые s- и p-функции пе-
рестают смешиваться. Такого добавочного вырождения, разумеется, и
следовало ожидать, поскольку в точке Г малая группа становится полной
группой Од и все три блоховские функции из формулы (14.82) преобразуются
Рис. 14.12. Энергетические^ зоны (в приближении сильной связи) для s- и
p-подобных атомных состояний с вектором к вдоль оси х.
согласно неприводимому представлению Гр группы Он. Представления Д4 и Д5
группы Civ, которым соответствуют кривые, соединяющиеся в точке Г, могут
быть получены из представления Гр путем разложения Гр при ограничении
полной группы Oh подгруппой Cw (гл. 4, § 18). Указанная связь между Д. и
Дв, с одной стороны,
62
Глава 14
и -с другой, носит название соотношения совместимости. Таким же способом
можно классифицировать неприводимое представление в точке X по
неприводимым представлениям малой группы в X (она совпадает с Д,Л);
используя таблицу характеров, мы получаем индексы, показанные на рис.
14.12.
В. ДРУГИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
Все свойства симметрии функции s(k), установленные в п. Б для
энергетических зон электронов в кристаллах, относятся и к другим
возбуждениям, о которых шла речь в § 5-7. Например, при вычислении частот
колебаний решетки три взаимно-ортогональных смещения атома в узле
преобразуются точно так же, как и р-функ-ции. Поэтому все сказанное о
зонах, построенных из р-функций в приближении сильной связи, можно
перенести на вычисление колебательного спектра простой кубической
решетки.
ЛИТЕРАТУРА
В качестве основной литературы по физическим вопросам, затронутым в
данной главе, можно предложить одно из следующих руководств:
1. Kittel С., Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1971.
[Имеется перевод: Киттель Ч. Введение в физику твердого тела:-М.: Наука,
1978.]
2. Elliott R. J., Gibson A. F., An Introduction to Solid State Physics
and its Applications, Macmillan, London, 1974.
3. Harrison W. A., Solid State Theory, McGraw-Hill, New York, 1970.
[Имеется перевод: Харрисон У. Теория твердого тела.-М.: Мир, 1972.]
Более серьезное изложение можно найти в книге:
4. Ziman J. М., Principles of the Theory of Solids, Cambridge University
Press, 1972.
[Имеется перевод: Займан Дж. Принципы твердого тела.- М.: Мир, 1978.]
Специальный обзор по связи между симметрией и электронными состояниями в
металлах:
5. Nussbaum A., Solid. St. Phys., 18, 165 (1966).
Для дальнейшего изучения пространственных групп рекомендуем книгу:
6. Birman J. L., Theory of space groups and infra-red and Raman lattice
processes in insulating crystals. - in: Handbuch der Physik, Bd. 25 (2b),
1974; Light and matter. - in: Handbuch der Phvsik, Bd. 25 <lb), 1974.
