Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
"однородными" преобразованиями Лоренца. Мы не будем пользоваться такой
терминологией. В данном пункте параграфа мы ограничимся рассмотрением
группы 2.
82
Глава 15
Чисто лоренцевские преобразования
Прежде чем рассматривать общее преобразование Лоренца, обратимся к двум
частным случаям:
г I о п
R(a) =
R(a)
О
О
Q ,(&) = !
Lo о о | lj 10 0 о
0 10 о
0 0 ch b -sh6 О 0 shfr ch 6У
(15.24)
Первое из этих двух преобразований, записанное в блочном виде, является
обычным вращением, так как из (15.23) следует, что Rf R =* I, а временная
компонента остается неизменной. Преобразование (15.24) оставляет на месте
точки, лежащие в плоскости ху, и называется чисто лоренцевским
преобразованием (или "бустом") в направлении z. Такие преобразования
зависят от одного действительного параметра Ь, принимающего значения в
области -'оо < & < оо. Разным значениям параметра Ь соответствуют разные
преобразования Qг(Ь). Преобразованный вектор дается в этом случае
выражением e' = Qг(6)е=я =г (х, у, zchb-ctshb, ctchb-zshb).
Это преобразование принимает более привычный вид, если перейти от
параметра b к параметру (3=*thfr:
f z - 8 ct t "
z --------гг, У -У> x-x,
/i дач1/,' v '
( ct-fr <15-25)
ct'=
(Позже мы увидим, что |3 имеет смысл скорости, измеренной в единицах
скорости света: |3=з v[c.) Ясно, что можно определить буст и в
произвольном направлении, заданном единичным трехмерным вектором и. Такие
бусты мы будем обозначать через Q (Ь), где b =sba, а b-величина буста,
как
Пространство и время
83
и в формуле (15.24). Выражение для преобразованного вектора ё'= Q(Ь)е
можно получить как обобщение результата для Q2(Ь). Проще всего вектор
е'определяется выражением для его пространственных (е') и временной (ct1)
компонент:
Отсюда можно получить матричные элементы 4х4-мат-рицы Q (Ь). В частности,
Qxx (b) = 1 + (chb- 1) u|, Qyx(b) = - (chb-\)ихиу, Qt*(b) = - uxshb, Qif
(b) = chb. Соотношения (15.26) аналогичны соответствующим соотношениям
для вращений (гл. 7, § 4).
Так как Q (Ь) и R (а) - преобразования Лоренца, их произведение-также
преобразование Лоренца при любых а и Ь. Более того, мы покажем сейчас,
что любое преобразование Лоренца L можно представить в виде такого
произведения. Этот результат аналогичен факторизации
(15.8) для группы вращений. Возьмем вектор е0=(0, 0, 0, 1).
Рассмотрим для произвольного L вектор e = Le0. Из (15.26) следует, что
существует единственный буст Q (Ь), такой, что Q (Ь)е0 = е. Таким
образом, мы имеем e0 = Q-1 (b)_e = = Q-l(b)Le0, т. е. оператор Q-1(b)L
оставляет вектор е0 на месте и, [следовательно, является вращением: Q-1
(b) L = R (а), так что
Преобразование L удобно задавать шестью параметрами, определяющими два
трехмерных вектора а и Ь. Отметим, что, в то время как параметры вращения
ограничены условием |а| параметры буста могут быть произвольными.
Последнее явствует из выражения (15.24)," которое показывает, что
оператор Qz подходит под определение преобразования Лоренца при любых
значениях Ь.
Б. Области в пространстве-времени
Прежде чем говорить о физическом смысле преобразований Лоренца,
остановимся на их геометрическом смысле. Для этого достаточно
ограничиться бустами Q z(b), резуль-
e' = e + {(ch?>-1) (e-u)-c^sh?>}u, ct' = ct ch b-(e-u) sh\b.
(15.26)
L = Q (b) R (a).
[(15.27)
84
Глава 15
тат действия которых можно изобразить на плоскости (г, ct) (рис. 15.1).
При нашем определении "длины" вектора как величины (e e)1/i концы всех
векторов постоянной длины лежат в (г, с^)-плоскости не на окружности, а
на гиперболах-г!-)-Л! = е-е = Л, где А-постоянная.
Поскольку величина А может иметь любой знак, а также быть равной нулю,
векторы удобно разделить на следующие шесть типов:
1) е-е < О, пространственноподобные,
2) e-e>0, t > 0, положительные времениподобные,
3) e-e]>0, t < 0, отрицательные времениподобные,
4) е е -0, t > 0, положительные изотропные,
5) е-е = 0, еф]0, ^<0, отрицательные изотропные,
6) е = 0, нулевой вектор.
Эта классификация приводит к разделению пространства-времени на области,
изображенные на рис. 15.1. Пространственно- и времениподобные области
отделены друг от друга линиями z=s±ct, образующими множество изотропных
Пространство и время
85
векторов. Заметим, что из равенства е-е = 0 не следует, что все
компоненты вектора е равны 0. Нулевыми компонентами обладает лишь нулевой
вектор е = 0. Хотя на рис. 15.1 изображен случай одного пространственного
измерения, наша классификация имеет место и в общем случае, так как она
основана на знаке скалярного квадрата и знаке временной компоненты
векторов. В общем случае пространственно- и времениподобные области
разделены так называемым световым конусом-множеством точек,
удовлетворяющих уравнению x2-f г/2 + г2-c2t2 = 0 и образующих трехмерную
"поверхность" в четырехмерном пространстве.
Так как преобразование Лоренца сохраняет "длину" вектора, оно переводит
точку, соответствующую вектору е, вугочку, соответствующую вектору е' с
