Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
каждом узле решетки находится один атом, а все три основных вектора
трансляций а; взаимно перпендикулярны и по модулю равны а, имеется шесть
ближайших соседних узлов р. В этом случае энергия (14.49) дается
выражением
(к) = е* -f V0 + 2V1 (cos akx -J- cos aky -J- cos akz), (14.51)
(14.49)
(14.50)
Симметрия в кристаллических твердых телах 39
где Vi-значение величины Vp для ближайшего соседнего узла (в кубическом
кристалле для всех шести соседних узлов величина VP будет одинаковой).
Для валентного электрона следует удержать еще несколько слагаемых как в
Vp, так и в /р. Интервал значений, в котором изменяется es (к) при
изменении к, называется шириной зоны; в примере, к которому относится
формула (14.51), эта величина равна 12 [ |. Чтобы вычислить ширину
зоны, мы должны, конечно, выбрать некую модель для периодического
потенциала 1/(г). Например, в качестве простого приближения для V (г)
можно выбрать сумму атомных потенциалов FaT(r):
V(r) = S^aT(r-n). (14.52)
П
При таком выборе сдвиг V0 мал по величине и отрицателен, поскольку
входящее в выражение (14.50) возмущение очень мало в центральной ячейке,
где волновые функции ф^(г) велики, и, кроме того, всюду отрицательно. По
той же причине величина Vx всюду отрицательна.
В более точных вычислениях зонной структуры [3, 4] необходимо выбирать V
(г) более тщательно, поскольку при выборе (14.52) да льнодействующий
характер атомного потенциала приведет к тому, что ряды (14.49) будут
сходиться лишь очень медленно. Удобнее выбрать V (г) в виде суммы
локализованных потенциалов, подобных потенциалам свободного атома или
иона в малой области атомного размера и равных нулю всюду вне этой
области. Тогда энергии гп1 следует вычислять для этих потенциалов.
§ 5. КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
Колебания решетки можно исследовать методами, изложенными в гл. 6 для
молекул. Мы начнем с одномерной модели одноатомного кристалла, т. е.
совокупности тождественных атомов, расположенных вдоль прямой линии на
равных расстояниях а один от другого. В дальнейшем мы обобщим результаты
на случай трех измерений с несколькими атомами в элементарной ячейке.
40
Глава 14
А. Одномерная одноатомная решетка
Как было показано в гл. 6, нормальные колебания (моды) должны
преобразовываться согласно неприводимым представлениям группы симметрии.
В данной задаче это означает, что нормальные моды должны
классифицироваться по индексу k, причем они могут быть получены путем
проектирования. Хотя в рассматриваемой здесь простой задаче с равными
массами принцип "взвешивания" величин можно не применять, мы все же
сохраним его и используем непосредственно формулы из гл. 6. Общий вид
смещения задается вектором q в векторном пространстве, размерность
которого равна числу атомов. Обозначим через е(л) смещение n-го атома на
величину и введем обозна-
чение q = 2<7п-М'/2е (п), где qn-смещение п-го атома,
П
имеющего массу М.
Тогда смещение иш, обладающее симметрией k, можно получить путем
проектирования с е (0) [аналогично тому, как это сделано в формуле
(14.39)]:
и'*> = 2 ехР (ikna) Т (п) е(0) =
П
= 2ехр (ikna)z(n). (14.53)
П
В этом одномерном случае k = ± | k'f = 2nkja [в тех же обозначениях, что
и в формуле (14.9)]. Это равенство аналогично равенству (6.34) в задаче о
молекулярных колебаниях.
Смещение иш, полученное таким способом, является единственным, так как
проектирование со смещения на другом узле 'дало бы точно такое же
смещение (хотя, может быть, и с другим фазовым множителем). Отсюда
следует, что u(ft) должно быть нормальным смещением и что при каждом k
имеется всего лишь одна нормальная мода.
Частота этой нормальной моды дается формулой (6.35) и получается сразу,
если известен вид потенциальной энергии кристалла при любых смещениях его
атомов. Если принять для нее выражение (6.1), допуская комплексные
значения величин qn,
У = Т 5ХЛ". (14.54)
п, пг
Симметрия в кристаллических твердых телах 41
где в данном случае qn-смещение п-то атома, то формула (6.35) примет вид
2 M~lBnm exp (- ikna) exp (ikma)
сoi = ^--------------------------. (14.55)
2 exp (- ikna) exp (ikma) S"m n, m
[При этом, поскольку смещение пш комплексное, следует использовать
комплексную |форму (3.7) для скалярных произведений в формуле (6.35).] В
силу трансляционной инвариантности постоянные Втп могут зависеть лишь от
разности п-т\ поэтому, вводя переменную р = п-т и записывая Вр вместо
Впт, получаем
со| = M-"2 [2 Вр exp (- ikpa) 1 /2 1 =
Л L Р J ' Л
= Ж"12^ехр(-ikpa).1 (14.56)
р
Системой описанного типа является, в частности, одномерная цепочка атомов
равной массы М, каждый из которых связан со своими ближайшими соседями
законом Гука с модулем упругости X. Потенциальную энергию можно записать
в виде
Л п
или (после замены "немого" индекса суммирования в некоторых слагаемых)'
Vql-qnq,i-i-?"?"")•
" п
Таким образом, потенциальная энергия V имеет вид(14. 54). где Впп - 2Х,
Впр - ¦- X для ближайших соседних узлов и Впр = 0 для всех остальных пар
