Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим одну из таких подгрупп S' (aly 0, 0). Она абелева, и потому ее
неприводимые представления одномерны. Из выражения (14.3) следует, что
матричные элементы Т (п1 0 0), соответствующие элементам группы Р (nL 0
0), удовлетворяют равенству
Т (пх 0 0) Т (щ 0 0) = Т (пх + тх 0 0). (14.4)
Мы говорим здесь "матричный элемент", хотя все эти матрицы одномерны и у
них имеется лишь по одному матричному элементу. Для представления группы
трансляций мы примем обозначение Т (n) = Т (п, п/п3) вместо более
громоздкого Т(Р(п)). Приняв, что единичному элементу Р (0 0 0)
соответствует единичный матричный элемент, т. е. Т (0 0 0) = 1, и
определив постоянную а равенством а = Т (1 0 0), мы сразу получаем из
равенства (14.4), что Т (п1 0 0) = a"i. Для того чтобы представление Т
было унитарным, величина а должна быть комплексным числом с модулем,
равным единице. Поэтому принято записывать а = ехр(-2nikj), где kx-
действительное число, используемое в качестве индекса представления:
T<*i0 0> (п10 0) = exp (- 2nik1n1). (14.5)
Поскольку "j-всегда целое число, из (14.5) следует, что два представления
с индексами kx и k[ = k1-\-p тождественны, если р-целое число. Поэтому
для описания всех унитарных неприводимых представлений необходимо, чтобы
индекс kx принимал любые значения в пределах интервала единичной длины.
Как будет видно из дальнейшего, очевидный интервал 0 ^ kx < 1 не всегда
наиболее удобен в трехмерных задачах.
20
Глава 14
Неприводимые представления полной группы трансляций S' (а^ад) получаются
как прямые произведения представлений вида (14.5) и потому являются
одномерными; они индицируются тремя параметрами ku k2, k3 и имеют вид
Т<к> (П) = т<*, о о> (П1 ошО) (r) Т<0 *.0) (0 п2 0) (r) Т(0 0 *>> (0 0 п3) =
[=ехр[-2лi (k1n1-\-k2n2-{-k3n3)]. (14.6)
-Показатель экспоненты в формуле (14.6) имеет 'вид скалярного
произведения, но, поскольку векторы а,- основных трансляций не являются
ни взаимно ортогональными, ни нормированными, необходимо ввести базис в
пространстве так называемой обратной решетки. Векторы этого базиса -
определяются равенством
ь 2я[ааха3] (И7)
1 аг[а2ха3] ' '
-и обладают свойством
Ьга,-еэ2я6;7, (14.8)
которое можно было бы также принять в качестве их
определения. Только после этого можно будет записать
показатель экспоненты в формуле (14.6) в виде скалярного произведения.
Для этого введем вектор к, имеющий компоненты kt в базисе Ь,:
k = k^o1 4- &2Ь2 -f- &8Ь3. (14.9)
Тогда
к • п = 2 kitijhi • - 2я 2 k-tii, (14.10)
Ч I
я матричный элемент неприводимого представления можно записать в виде
Т<Ю(п) = ехр(-tk-n), (14.11)
где п обозначает элемент группы, а к - индекс неприводимого
представления.
Как было отмечено выше, в одномерном случае все представления е индексом
&,+/>, где р - любое целое число, тождественны представлению с индексом
kp, в трехмерном "случае то же будет справедливо для представлений,
полученных добавлением целых чисел к любому из kt. Этот
Симметрия в кристаллических твердых телах
21
результат удобнее сформулировать, если ввести обратную решетку как
совокупность точек, определяемых векторами
Km = m1b1 + m2b2 + m3b3, (14.12)
где mt-целые числа. Отсюда видно, что представления, соответствующие
индексам к и к + Кт, эквивалентны:
Т( + Km> (n) = exp [- i (к + Кт) • n] = exp (- iк • п) = Т(к) (п).
(14.13)
В заключение выведем простое правило для построения произведения
представлений групп трансляций. Поскольку неприводимые представления
группы iT одномерны, это правило тривиально. Прямое произведение
представлений с индексами кик'-это представление с индексом k+k', так как
Т,к> (п) 0 Т<к'> (n) = exp (- tk-n) exp (- tk'-n) =
= ехр[-i (k + k')-n] = T(k+k'>(n).
(14.14)
Однако ввиду отмеченной выше эквивалентности к индексу получающегося
представления можно, не изменяя результата, добавить вектор обратной
решетки:
T<k>0T(k') _ x(k+k'+Km). (14.15)
§ 3. ЗОНА БРИЛЛЮЭНА И НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
Как было показано, различные представления можно строить, заставляя
параметры klt k2 и k3 пробегать интервал единичной длины. Этим условием
определяется область пространства, в которой должен находиться вектор к;
данную область можно наглядно себе представить, используя базис в
пространстве обратной решетки и равенство (14.9). Если выбрать интервалы
0^&г <1, то областью вектора к будет параллелепипед, построенный на
базисных векторах blf b2 и Ь3. Но обычно удобнее выбирать область,
максимально симметричную относительно начала координат, допуская тем
самым отрицательные значения величин Полученная таким способом область
изменения вектора к называется зоной Бриллюэна; ее границы можно
определить с помощью векторов обратной
22
Глава 14
решетки (14.12). Зона Бриллюэна определяется как область, ограниченная
плоскостями, которые делят пополам векторы, соединяющие начало координат
со всеми ближайшими узлами обратной решетки, и при этом орт ого на льны
этим векторам.
На рис. 14.2 приведены некоторые примеры двумерных решеток совместно с их
