Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
46
Глава 14
§ 6. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
В простой" модели ферромагнетика каждый атом, находящийся в узле ft,
обладает магнитным моментом и при достаточно низких температурах (ниже
точки Кюри) эти моменты выстраиваются почти в одном направлении. Таким
образом, кристалл приобретает конечный магнитный момент в отсутствие
какого-либо внешнего поля. Эксперимент показывает, что g'-фактор для
этого момента весьма близок к 2; поэтому можно считать, что магнитный
момент возникает благодаря спинам неспаренных атомных электронов, причем
орбитальный вклад "заморожен" кристаллическим полем, как показано в гл.
9, § 3. Несмотря на то что энергия взаимодействия имеет
электростатическую природу и обусловлена обменными взаимодействиями между
электронами, явление в целом можно рассматривать, взяв эффективный
гамильтониан, который содержит в качестве слагаемого гейзенберговское
взаимодействие
где Sn - оператор спина атома в узле п. Обычно принимается, что /пп = 0,
з величины Jпт положительны, так что в основном состоянии спины всех
атомов, а следовательно, и все магнитные моменты параллельны. При этом
каждое слагаемое Sn • Sm принимает свое максимальное значение S2, где S-
спин атома, так что энергия основного состояния дается простым выражением
Чтобы обосновать сказанное, обозначим состояние, в котором все спины
выстроены в одном направлении (назовем его осью г), через J0>, а оператор
S" -Sm, следуя (7.35), запишем В виде S" •Sm = 1/2(Sn + Sm- + Sn-Sm + )-f
SnzSmj. Тогда получим
(14.61)
(14.62)
Snz|0> = S|0>
и S"+|0> = 0 при всех п, так что
S"-Sm|0> = S2|0>.
(14.63)
Симметрия в кристаллических твердых телах
47
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы определить физическую природу и
энергии низколежащих возбужденных состояний системы, которые заселяются
за счет теплового движения при низких температурах. Естественно
предположить, что взаимодействие (14.61) обладает свойством
трансляционной инвариантности, так что постоянные величины Jnm зависят
только от разностей векторов m-n = q; в дальнейшем мы будем пользоваться
обозначением /пт = /а. Поэтому собственные функции оператора V должны
нести индекс к, причем очевидно, что волновое состояние 10> также
трансляционно-инвариантно и соответствует значению к = 0. Взяв в качестве
исходного основное состояние, в котором все спины параллельны, можно
построить большое число разных волновых функций с данными к. Наша цель
состоит в построении собственных функций, соответствующих именно
низколежащим состояниям. Имея в виду упорядоченный характер основного
состояния, можно искать возбужденное состояние, "повернув" спин в одном
узле р с помощью понижающего оператора Sp- и затем произведя
проектирование для получения состояния с определенным к. Полученную
пробную функцию можно записать в виде
|к> - 2 exP (Jk*p)Sp- |0>. (14.64)
р
Покажем, что она действительно является собственной функцией оператора V
при всех к. Оператор S" Sm коммутирует с Sp, если только индекс р не
равен п или ш, поскольку спиновые операторы на разных узлах коммутируют
друг с другом. Тогда с учетом равенства (14.63) имеем
S" ¦ Sm | k> = S21 k> + exp (ik • n) [(S" • Sm), Sn-] | 0> +
+ exp(tk m)[(S"-Sm), Sm-]]0>.
Выражения для коммутаторов следуют из известных перестановочных
соотношений (7.28) и (7.30) для спиновых операторов; получаем
[(Sn'Sm), Sn_] = S"_Snz Sn_Smz
при всех m=j?n. (Случай т - п можно не рассматривать ввиду того, что /Пп
=0.) Объединяя полученные два вы-
48
Глава 14
ражения с (14.61), находим
V I к> = - S2 Ц J пт | к>-S 2 ^nmjexp (ik-n) (Sm_-Sn_)+
п, т п, т
+ exp (ik-m) (Sn_- Sm_)}|0> =
= ?0|k> + S 2 Л,{[1-exp(ikq)]exp(ik-n)Sn_ +
n, m
-f[l -exp (-ik-q)] exp (tk-m) Sm-} 10>, где q = m-n,
V | k> = E01 k> + 5 S /q[l -exp (ik- q)] | k> +
+ S2/q[l-exp (-ik-q)]|k> =
= ?0|k> + 2SS^q(l -cosk-q)|k>. (14.65)
q
Полученный результат доказывает, что состояние | к> является собственным
состоянием с энергией возбуждения
2S 2 Jq (1 -cos k-q), где вектор q пробегает по всем узлам, q
исходя из выбранного фиксированного узла. При каждом к мы получаем
возбуждение подобного типа, называемое магноном. Данная задача, очевидно,
аналогична задаче о колебаниях решетки, рассмотренной в § 5, причем
поворот спина в узле соответствует смещению атома в этом узле. Заметим,
что при k-->-0 энергия возбуждения тоже стремится к нулю как k2, так что
возбуждения можно создать при сколь угодно малой энергии. В отличие от
этого среднее значение оператора V по состоянию Sp_|0> с одним
перевернутым спином в узле р будет конечным. Состояние |к>,
соответствующее значению к = 0, хотя и обладает нулевой энергией
возбуждения, не тождественно основному состоянию, поскольку оно дается
выражением 2SP_|0>. Однако оператор 2$Р- является оператором
р р
полного спина системы; его действие на состояние 10> выражается в
бесконечно малом повороте направления упорядочения спинов и не
соответствует какому-либо внутреннему возбуждению в системе. Описанное
