Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 9

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 138 >> Следующая

обратными решетками и зонами Бриллюэна. В этих двумерных примерах проще
получить
Простая
прямоугольная
Г?ксаеональная
Центрированная
квадратная
Пространст-
венная
рететка
0-1
Обратная решетка и' первая вона Бриллюэна (•заштрихована)
|Ь,|=2я-/|а,|
|Ь,1=4я-//"3 !а,|
• *
|Ъ,ИУ2яУ1а,1
Рис. 14.2.
векторы Ь,, пользуясь соотношением (14.8), а не исходным определением
(14.7).
Одна из причин выбора именно зон Бриллюэна среди других возможных
элементарных ячеек состоит в том, что с их помощью проще всего
иллюстрируется точечная симметрия обратной решетки. Эта симметрия
совпадает с симметрией исходной пространственной решетки (которая,
однако, может и не совпадать с обратной решеткой). В самом деле, векторы
Km обратной решетки, определенные равенством (14.12), удовлетворяют
условию
exp(iKm*n) = l (14.16)
для всех узлов решетки пу, и нетрудно показать, что, наоборот, любой
вектор, удовлетворяющий условию (14.16)
Симметрия в кристаллических твердых телах 23
для всех п, должен быть вектором обратной решетки. Если теперь выбрать
вращение R,-, принадлежащее точечной группе, которая оставляет неизменной
пространственную решетку, то точка R^n тоже будет узлом решетки, так что
exp(t'Km-Rr1n)=: 1. Поскольку же показатель экспоненты есть скалярное
произведение, отсюда следует, что exp (j'R(Km ¦ n) = 1 и, значит, точка
R^m также является узлом обратной решетки. Таким образом, любой элемент
R; данной группы переводит все векторы обратной решетки в такие же
векторы; следовательно, обратная решетка обладает той же симметрией
точечной группы, что и пространственная решетка.
4. ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Простейшая модель для описания электронов, движущихся в кристалле,-это
модель независимых электронов. В ней принимается, что каждый электрон
движется независимо от других в фиксированном потенциале У (г), который
отражает его взаимодействие с ядрами, а также (в среднем) и
взаимодействие с другими электронами твердого тела. Предполагается, что
потенциал V (г) обладает трансляционной симметрией кристалла, т. е. V
(г)=з = У(г-)-п). Этот периодический потенциал следует рассматривать так
же, как и центральное поле в случае электронов в атоме (гл. 8, § 6, п.
А).
Теперь можно использовать полученные выше результаты, чтобы найти
характеристические свойства электронов, движущихся в таком потенциале.
Прежде всего установим действие трансляций на волновую функцию электрона,
основываясь на общем определении (4.8):
Т (п)ф (г) = ф'(Р-1 (п) г) = ф (г-п). (14.17)
Для этого преобразования Т (п) выполняется групповой закон умножения
Т(ш)Т(п)ф(г) = ф(г-m-n)=*T(m-f п)ф(г), (14.18)
что и требуется в общем случае от любого представления группы.
На основе общих результатов относительно индициро-вания представлений и
вырождения (гл. 5, § 3) можно
24
Глава 14
предсказать, что если в кристалле отсутствует какая-либо симметрия, кроме
трансляционной (т. е. отсутствуют какие-либо специальные соотношения
между а,), то собственные состояния электрона будут преобразовываться
согласно неприводимым представлениям группы трансляций. Это означает, что
такие состояния будут индицироваться вектором к и обладать
трансформационными свойствами
Т(п) ср'к) (г) = ТШ(п)ф'к> (г) = ехр (- tk-n) ф(к) (г). (14.19)
Отсюда в силу формулы (14.17) получаем
ф(ю (г-n) = exp (- tk-n) ф(к) (г). (14.20)
Ввиду того что представление к одномерно, мы заключаем также, что
собственное состояние ф(к> (г) должно быть невырожденным. Важный
результат (14.20) есть знаменитая теорема Блоха для состояний в
кристаллах. Если известно, как изменяется собственная функция в одной
ячейке кристалла, то характер ее изменения во всех остальных ячейках
будет определяться индексом к и сводиться к простому
изменению фазы. Теорему Блоха часто
формулируют в несколько другой форме-записывая собственную функцию
(блоховское состояние) в виде
Ф(к> (r) = ttk(r)exp(tk-r). (14.21)
Подставив это выражение в формулу (14.20), мы убедимся, что определенная
равенством (14.21) функция пк(г) инвариантна относительно группы
трансляций :
ttk(r-п) = ык(г). (14.22)
Чтобы найти функцию ttk(r), нужно написать уравнение Шредингера для
электрона, движущегося в периодическом потенциале. Гамильтониан для
данного случая имеет вид
Н = Й+У(Г)' <14-23)
где У(г) = У(г-п). С учетом формулы (14.21) для собственных функций фк
(г) получаем уравнение Шредингера
_|! V2 + У (г)] ык (г) exp (ik • г) = в (к) ик (г) exp (tk • г),
(14.24)
Симметрия в кристаллических твердых телах 2-5
которое можно также переписать в виде
"к(г) = 0. (14.25)
?(V + tk)3 + e(k)-V(r)
Поскольку Uk(r)-периодическая функция, дифференциальное уравнение (14.25)
можно решать лишь в пределах одной элементарной ячейки, задав
периодические граничные условия на ее краях. Таким образом, теория групп
позволила нам свести задачу для всего кристалла к задаче для одной
элементарной ячейки. При каждом значении к уравнение (14.25) будет иметь
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed