Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
двух электронов, когда его надо представить в виде, допускающем
разложение на множители, зависящие от координат отдельных электронов
(приложение 5, § 1).
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА ГРУППЕ
в
В гл. 7, § 1 мы отмечали, что сумму по группе >
а= 1
входящую в соотношения ортогональности для неприводимых представлений
конечной группы, в случае непрерывной группы следует заменить интегралом
по параметрам группы а1, а2, ..., аг, взятым с некоторой весовой
функцией p(aj, а2 аг). В частном случае группы Ht2
мы видели, что соотношения ортогональности выполняются при выборе весовой
функции р(а)=1. Чтобы найти весовую функцию для группы ?d3, необходимо
более подробно исследовать свойства, которыми должна обладать
Некоторые формулы, относящиеся к группе _______________371
такая функция. Мы сначала рассмотрим общий случай, а затем выведем
выражение для весовой функции для группы 913. Это позволит нам написать
соотношения ортогональности для неприводимых представлений и характеров
группы Я3.
Существенным свойством конечной суммы
?/((c)"), (П4.9)
I
где f-некоторая функция на группе, является ее инвариантность
относительно замены всех а элементов группы Ga элементами Gc - GaGb,
причем Gb-некоторый фиксированный элемент группы. Этим свойством мы
неоднократно пользовались в гл. 4, и его доказательство несложно (гл. 2,
§ 9). Из свойств групп следует, что если Ga пробегает все элементы
группы, то это же верно и для Gc при фиксированном Gb. Поэтому в сумму
(П4.9) входят те же, что и ранее, слагаемые, но в другом порядке. Именно
этим свойством инвариантности следует воспользоваться в случае
непрерывных групп. Другими словами, функцию р (а) следует выбрать таким
образом, чтобы для любой функции /(а), зависящей от элементов группы
G(a), выполнялось равенство
Sf(a)p(a)da;= ^(c)p(a)da, (П4.10)
S 8
где с-параметры элемента группы
G (с) == G (a) G (Ь) (П4.11)
при некотором фиксированном Ь. Здесь через а обозначен набор
параметров ах, а2, ..., аг, а через da-эле-
мент объема dax da2 ... dar. Равенство
J f(a)p(a)da= J f (c)p(c)dc (П4.12)
тривиально. Но в силу условия (П4.11) с фиксированным b переменная с
является функцией параметров а и Ь, и
372
Приложение 4
с помощью якобиана
дсг дсг дсг
дах да2 ' ' ' даг
дс
да
(П4.13)
дсг
дах
дсг
даг
мы можем перейти от интегрирования по переменной с к интегрированию по а.
Отметим, что если параметр b фиксирован и с пробегает всю группу S, то
это же верно и для а. Поэтому тождество (П4.12) переходит в соотношение
Сравнивая его с исходным равенством (П4.10), приходим к заключению, что
весовая функция р должна при любых а удовлетворять условию
Предполагая существование такой функции р, мы можем выбрать любое удобное
для нас значение переменной а, чтобы определить величину р(с). Полагая а
= 0, имеем
Величина постоянной р(0) несущественна. Обычно 'выбирают значение р(0)=1.
Доказать, что функция (П4.15) удовлетворяет условию (П4.14), оставляем
читателю в качестве упражнения.
В случае конечных групп сумма по группе всегда возникает в виде
j f (а) Р (a) da=)f (с) Р (с) Та.da'
Р(с)| = Р(а).
(П4.14)
(П4.15)
(П4.16)
где g-число элементов группы. Множитель g~l обеспечивает равенство суммы
(П4.16) единице при f(Ga)=l. В случае непрерывной группы число g следует
заменить
Некоторые формулы, относящиеся к группе Э13 373
объемом группы, определяемым как
V = ^ р (a) da.
Очевидно, что при таком определении интеграл
М f (а) Р (а)da
(П4.17)
равен единице, если /(а)=1. Таким образом, оба выражения (П4.16) и
(П4.17) можно рассматривать как определения усреднения по группе. Теперь
можно убедиться, что доказательства из гл. 4 остаются в силе при замене
конечного усреднения (П4.16) непрерывным усреднением (П4.17).
Естественно, при этом предполагается, что объем группы конечен. Группы,
для которых это условие выполнено (к ним, в частности, относятся группы
вращений и унитарные группы), называются "компактными". Хотя большинство
групп, представляющих интерес с точки зрения физики, являются
компактными, имеются группы, такие, как группа Лоренца, группа трансляций
(гл. 15), которые не относятся к этой категории.
В случае группы М2 функциональное соотношение между параметрами а, b и с,
входящими в формулу (П4.11), есть просто с - а-\-Ь, так что дс/да= 1.
Следовательно, объем группы равен
чем обусловлены соотношения ортогональности (7.14), понимаемые как
частный случай формулы (4.25).
В случае группы %3 соотношения между параметрами а, b и с не столь
просты. Воспользуемся векторным представлением для вращений,
соответствующих этим параметрам. Направим ось г вдоль оси вращения R (Ь).
В этом случае матрица R(b) имеет простой вид
о
374
Приложение 4
Ось вращения R (а) может иметь любое направление, но поскольку нас
интересует значение якобиана при а = 0, мы можем считать угол вращения
малым и представить матрицу R(a) в виде суммы единичной матрицы и матрицы
инфинитезимального оператора (7.24):
