Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
найти энергии термов Fsl для трех электронов. Для этого был разработан
ряд сложных методов, которыми были рассчитаны обширные таблицы. Мы
вычислим эти коэффициенты элементарным методом. В силу нормировки^функ-
ции ? коэффициенты аФ должны быть нормированы
Методы расчета атомной структуры
381
Таблица П.4
ip ф гр 1D 'S
1 0 0
ю а Р 0
*р У 6 8
В соответствии с равенством ^ аФ |2 = 1, причем для
ф |
того, чтобы использовать (П5.4), знать фазу величины йф не требуется.
Коэффициенты удобно представить в виде табл. П.4. Нулевые значения
некоторых элементов таблицы прямо следуют из правила векторного сложения
угловых моментов; например, полное значение 5 = 3/2 нельзя получить
связыванием одночастичного спина электрона 3 с "родительским" спином 5 =
0, а полное значение L = 2 нельзя получить, связывая 1=1 с "родительским"
значением х5. Из условия нормировки находим значения первой строки
(значения энергии основного состояния):
[F(4S) = 3?P = 3F""-(%)F<?> (П5.5а)
с учетом выражений (П5.2). Чтобы найти элементы второй строки,
воспользуемся формулой (8.44), заметив, что выражение (П5.4) справедливо
при любом инвариантном двухчастичном взаимодействии, а следовательно, и
при <ЖГ в (8.44). Поскольку Р'ц = - 1 в терме 3Р и PJ; = + 1 в терме 1D,
находим 3(-а2 + |32) = 3- •/"-1U'3U~+ В сочетании с условием нормировки
а2+|32=1 этот результат дает а2 = ра = 1/а- Взяв эти значения для а2 и
Р2, мы получаем энергию терма 2D в виде
F (2D) = 4 ЕР +1 Ed = 3Р<°> Р<2>. (П5.56)
Аналогичные выкладки дают для третьей строки 3(-у2 + б2 + е2) = 3-8/4-72-
3/2> что совместное условием нормировки дает j3=1/2, 62 + e2 = V2. Чтобы
найти
б2 и е2, возьмем двухчастичный оператор 2 [1(0+1 (О]2
i < /
точно так же, как мы брали соответствующий спиновый
Йриложёние §
оператор при выводе формулы (8.43). Оператор имеет вид
S [I (0 + 1(/)]2 -La-^(2-/)*(*+!)•
?< /
Применяя его к терму 2Р, с учетом выражения (П5.4) получаем 3 (2у2 + 6б2)
= 2-|-6. зная, что у2==1/2, находим отсюда б2 == 5/is" e2 = 4/i8 и, таким
образом, завершаем заполнение третьей строки таблицы; для энергии терма
2Р получаем выражение
F (2Р) = °/2Ер + VeED + 4,ES = 3К". (П5.5в)
Исходя из выражений (П5.5) для энергий трех термов, можно вновь вычислить
отношение энергий возбуждения: [F (2Р) - Т7 (4*S)]/[/7 (2?>) - /7(45)]=
1,67. Экспериментальное значение этого отношения в атоме азота (Z = 7) с
тремя валентными 2/?-электронами равно 1,5.
Данный пример показывает, как применяется метод генеалогических
коэффициентов в случае более сложных атомов, а также в ядерной физике.
Существуют и более последовательные способы нахождения генеалогических
коэффициентов, основанные на использовании других групп-прежде всего
группы U2l+1 унитарных преобразований в (2/+1)-мерном пространстве
волновых функций фгот для одной частицы, а также ее различных подгрупп
(гл. 18, § 10).
§ 2. КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ (6J- И 9У-СИМВОЛЫ)
Как было показано, коэффициенты Клебша - Гордана (коэффициенты векторной
связи) играют существенную роль при построении волновых функций и
вычислении матричных элементов. Эти коэффициенты вычисляются на основе
только групповых свойств 5?3 и не зависят ни от каких других свойств
физической системы, кроме ее симметрии. При сложении более чем двух
угловых моментов возникают произведения коэффициентов Клебша -Гордана.
При этом некоторые суммы таких произведений встречаются достаточно часто,
и целесообразно ввести для них специальные обозначения и составить
таблицу их численных значений (подробнее см. в книгах Бринка и Сэтчлера,
а также Ротенберга и др. из литературы к гл. 7). Очевидно, что с
увеличением числа складываемых угловых
Методы расчета атомной структуры
383
моментов сложность задачи возрастает неограниченно; но практический
интерес представляют лишь первые шаги на этом пути. Методы, излагаемые в
данном параграфе, применимы к большинству групп, но полностью описаны
лишь для группы 5?3. Для абелевой группы 5?2 эти ме" тоды становятся
тривиальными.
Представление произведения DW")0D</*>, как видно из формулы (7.44),
допускает простое разложение; при этом существует единственный базисный
вектор, который преобразуется неприводимым образом при данных jm и при
условии | -/21 ^ ^ /х + /*. Коэффициенты Клебша -
Гордана С (/:/2, тутгт) определяются как коэффициенты разложения этой
функции в мультипликативном базисе тхт2. Представление более сложного
произведения D<'')0 0D(b)0D(b>0D<''> не будет иметь столь простого
разложения, и, вообще говоря, данное неприводимое представление может
появляться в его разложении несколько раз. Поэтому такое разложение не
является единственным и одним лишь индексом jm не будут однозначно
определяться базисные функции разложенного представления. Разложение
можно провести в два этапа: сначала нужно по отдельности разложить два
произведения
Ul+1'г)
D</.>0D<M= У, D<'4
/12 = | /l-Ь I
(/в*/*)
DW0DW= 2
/*4-1 /" - /" I
а затем-произведение
